数学必修 第一册5.2 三角函数的概念学案设计

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5.2 三角函数的概念


5.2.1 三角函数的概念








江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然．





问题：(1)把水车放在坐标系中，点P为水车上一点，它转动的角度为α，水车的半径为r，你能写出点P的坐标吗？


(2)三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？


(3)三角函数在各象限的符号与角的终边上点P的坐标有怎样的关系？


提示：(1)设P(x，y)，根据三角函数的定义知sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，则P(rcs α，rsin α)．


(2)三角函数值是比值，与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关．


(3)由三角函数的定义知sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)，三角函数在各象限的符号由角α终边上的点P的横坐标、纵坐标的正负确定．





1．单位圆


在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．


2．任意角的三角函数的定义


(1)条件





在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：


(2)结论


①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；


②x叫做α的余弦函数，记作cs α，即cs α＝x；


③eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．


(3)总结


eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．


3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域


4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号


(1)图示：





(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．


5．公式一








1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)sin α表示sin与α的乘积．( )


(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝eq \f(y,r)，且y越大，sin α的值越大．( )


(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )


(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )


[提示] (1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．


(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝eq \f(y,r).但y变化时，sin α是定值．


(3)正确．


(4)错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×


2．sin(－315°)的值是( )


A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(1,2)


C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).]


3．已知sin α＞0，cs α＜0，则角α是( )


A．第一象限角 B．第二象限角


C．第三象限角 D．第四象限角


B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]


4．已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＝ ，cs θ＝ ，tan θ＝ .


eq \f(5,13)，－eq \f(12,13)，－eq \f(5,12) [∵θ的终边过点P(－12,5)，∴r＝eq \r(－122＋52)＝13.


∴sin θ＝eq \f(y,r)＝eq \f(5,13)，cs θ＝eq \f(x,r)＝－eq \f(12,13)，tan θ＝eq \f(y,x)＝－eq \f(5,12).]








[探究问题]


1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cs α，tan α为何值？


提示：sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．


2．sin α，cs α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？


提示：sin α，cs α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．


【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cs θ＝eq \f(\r(10),10)x，则sin θ＋tan θ的值为 ．


(2)已知角α的终边落在直线eq \r(3)x＋y＝0上，求sin α，


cs α，tan α的值．


[思路点拨] (1)eq \x(依据余弦函数定义列方程求x)→


eq \x(依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ)


(2)


(1)eq \f(3\r(10)＋30,10)或eq \f(3\r(10)－30,10) [因为r＝eq \r(x2＋9)，cs θ＝eq \f(x,r)，所以eq \f(\r(10),10)x＝eq \f(x,\r(x2＋9)).


又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq \r(10).


又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．


当θ为第一象限角时，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)＋30,10).


当θ为第二象限角时，sin θ＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝－3，


则sin θ＋tan θ＝eq \f(3\r(10)－30,10).]


(2)[解] 直线eq \r(3)x＋y＝0，即y＝－eq \r(3)x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，eq \r(3))，则r＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝－eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3)；


在第四象限取直线上的点(1，－eq \r(3))，


则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，


所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2)，tan α＝－eq \r(3).





1．将本例(2)的条件“eq \r(3)x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？


[解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r＝|OP|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，得sin α＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，tan α＝eq \f(2,1)＝2.


当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，


由r＝|OQ|＝eq \r(－12＋－22)＝eq \r(5)，得：


sin α＝eq \f(－2,\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(－1,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5)，


tan α＝eq \f(－2,－1)＝2.


2．将本例(2)的条件“落在直线eq \r(3)x＋y＝0上”改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cs α.


[解] 因为r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|，


①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，


sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，


所以2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1.


②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，


sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)，


所以2sin α＋cs α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1.





由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤


(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：


①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．


②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．


(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．








【例2】 (1)已知点P(tan α，cs α)在第四象限，则角α终边在( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


(2)确定下列三角函数值的符号：


①sin 156°；②cseq \f(16,5)π；③cs(－450°)；④taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,8)π))；


⑤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)π))；⑥tan 556°.


[思路点拨] (1)先判断tan α，cs α的符号，再判断角α终边在第几象限．


(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号．


(1)C [因为点P在第四象限，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α>0，,cs α<0，))由此可判断角α终边在第三象限．]


(2)[解] ①∵156°是第二象限角，


∴sin 156°＞0.


②∵eq \f(16,5)π为第三象限角，


∴cs eq \f(16,5)π＜0.


③∵－450°＝－720°＋270°是终边落在y轴的非正半轴上的角，∴cs(－450°)＝0.


④∵－eq \f(17,8)π＝－2π－eq \f(1,8)π是第四象限角，


∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,8)π))＜0.


⑤∵－eq \f(4π,3)＝－2π＋eq \f(2,3)π是第二象限角，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)π))＞0.


⑥∵556°＝360°＋196°是第三象限角，∴tan 556°＞0.





判断三角函数值在各象限符号的攻略


1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；


2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；


3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.


提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.





eq \([跟进训练])


1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是 ．


－2＜a≤3 [因为cs α≤0，sin α＞0，


所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))所以－2＜a≤3.]


2．判断下列各式的符号：


(1)sin 145°cs(－210°)；(2)sin 3·cs 4·tan 5.


[解] (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，


∵－210°＝－360°＋150°，


∴－210°是第二象限角，∴cs(－210°)＜0，


∴sin 145°cs(－210°)＜0.


(2)∵eq \f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq \f(3π,2)，eq \f(3π,2)＜5＜2π，


∴sin 3＞0，cs 4＜0，tan 5＜0，


∴sin 3·cs 4·tan 5＞0.


【例3】 求值：


(1)tan 405°－sin 450°＋cs 750°；


(2)sineq \f(7π,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))cseq \f(13π,3).


[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cs(2×360°＋30°)


＝tan 45°－sin 90°＋cs 30°


＝1－1＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).


(2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,3)))


＝sineq \f(π,3)cseq \f(π,6)＋taneq \f(π,4)cseq \f(π,3)


＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋1×eq \f(1,2)＝eq \f(5,4).





利用诱导公式一进行化简求值的步骤


(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.


(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．


(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．





eq \([跟进训练])


3．化简下列各式：


(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcs(－1 080°)；


(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＋cseq \f(12,5)π·tan 4π.


[解] (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcs(－3×360°)


＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcs 0°


＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.


(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)π))＋cseq \f(12,5)π·tan 4π


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))＋cseq \f(2,5)π·tan 0＝sineq \f(π,6)＋0＝eq \f(1,2).








1．掌握3个知识点


(1)三角函数的定义及求法；


(2)三角函数在各象限内的符号；


(3)公式一．


2．会用2种思想——化归与分类讨论


(1)负角化为正角、大角化为小角的化归思想．


(2)角的终边位置上的点的不确定引起的分类讨论．


3．规避2个误区


(1)三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关．


(2)正切函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))))





1．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )


A．1 B．－1


C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2)


B [由三角函数定义知tan α＝eq \f(－1,1)＝－1.]


2．若角α是第三象限角，则点P(2，sin α)所在象限为( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


D [由α是第三象限角知，sin α＜0，因此P(2，sin α)在第四象限，故选D.]


3．设角α是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，则角eq \f(α,2)是第 象限角．


四 [角α是第三象限角，则角eq \f(α,2)是第二、四象限角，


∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)，∴角eq \f(α,2)是第四象限角．]


4．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝eq \f(1,5)，则sin β＝ .


－eq \f(1,5) [设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，


则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，


由题意知y＝sin α＝eq \f(1,5)，所以sin β＝－y＝－eq \f(1,5).]


5．求值：(1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°.


(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4))).


[解] (1)sin 180°＋cs 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.


(2)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))


＝cseq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)


2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)


3.掌握公式——并会应用.
1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养.


2.借助公式的运算，提升数学运算素养.
三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
三角函数的定义及应用
三角函数值符号的运用
诱导公式一的应用