人教A版 (2019)必修第一册4.5 函数的应用（二）习题

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册4.5 函数的应用（二）习题，共21页。试卷主要包含了3)等内容，欢迎下载使用。

4.5.3　函数模型的应用
基础过关练
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)= cx,x A.75,25 B.75,16
C.60,144 D.60,16
2.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式:y=alog3(x+2),观测发现2019年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只,估计到2025年冬越冬白鹤有(　　)
A.4 000只 B.5 000只
C.6 000只 D.7 000只
3.某商品专营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,已知该商品的进价为3元/件,并规定其销售价格不低于商品进价,且不高于12元/件.该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.
(1)试求y关于x的函数解析式;
(2)当销售单价定为多少元时,该商品每天的利润最大?

4.某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差,如果销售额与广告费的算术平方根成正比,那么根据对市场的抽样调查发现:每投入100万元的广告费,所得的销售额是1 000万元.问:该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益?

题组二　建立函数模型解决问题
5.(2020山东烟台高一上期末)某商家准备在2020年春节来临前连续两次对某一商品的销售价格进行提价且每次提价10%,然后在春节活动期间连续两次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来的价格相比(　　)
A.略有降低 B.略有提高
C.相等 D.无法确定
6.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A.p+q2 B.(p+1)(q+1)-12
C.pq D.(1+p)(1+q)-1
7.某工厂2019年生产某产品2万件,计划从2020年开始每年比上一年增产20%,则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
8.大气温度y(℃)随着距地面的高度x(km)的增加而降低,到高空11 km处为止,在更高的上空气温几乎不变.设地面温度为22 ℃,每上升1 km大气温度大约降低6 ℃,则y与x的函数关系式为　　　　　　.
9.(2020河北唐山一中高一上期中)某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放,已知在过滤过程中,废气中的污染物含量p(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的关系为p(t)=p0e-kt(式中的e为自然对数的底数,p0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量减少了15.
(1)求函数关系式p(t);
(2)要使污染物的含量不超过初始值的11 000,至少还需过滤几个小时?(参考数据:lg 2≈0.3)

题组三　拟合函数模型解决问题
10.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(　　)
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01

A.y=2x-2 B.y=12(x2-1)
C.y=log2x D.y=log12x
11.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用　　　　作为拟合模型较好.
12.为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少粉尘),并采用分段计费的方法计算电费.当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时,按每千瓦时0.57元计算;当月用电量超过100千瓦时时,其中的100千瓦时仍按原标准收费,超过的部分按每千瓦时0.5元计算.
(1)设月用电x千瓦时时,应交电费y元,写出y关于x的函数关系式;
(2)若某家庭一月份用电120千瓦时,则应交电费多少元?
(3)若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表:
月份
1月
2月
3月
合计
交费金额(元)
76
63
45.6
184.6

则这个家庭第一季度共用电多少千瓦时?

13.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的一组数据,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120 km/h时刹车后的停车距离.
车速(km/h)
10
15
30
40
50
停车距离(m)
4
7
12
18
25

车速(km/h)
60
70
80
90
100
停车距离(m)
34
43
54
66
80

能力提升练
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.()某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=2kx+m(k,m为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是64小时,在18 ℃的保鲜时间是16小时,则该食品在36 ℃的保鲜时间是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4小时 B.8小时 C.16小时 D.32小时
2.(2019山西太原五中高一月考,)国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税.有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是(　　)
A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元
3.(2020山东泰安一中高一上期中,)山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略综合试验区,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略综合试验区.泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇,加快企业发展.已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x>0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x;若年产量不小于80台,则y1=101x+8 100x-2 180.每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;

(2)当年产量为多少台时,该企业所获利润最大?

题组二　建立函数模型解决问题
4.(2019湖南醴陵一中高一上期中,)某种放射性元素,每年在前一年的基础上按相同比例衰减,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下(　　)
A.0.015克 B.(1-0.5%)3克
C.0.925克 D.1000.125 克
5.(2019辽宁沈阳五校协作体高一期中,)为了落实国务院“提速降费”的要求,某市移动公司欲下调移动用户消费资费.已知该公司共有移动用户10万人,人均月消费50元.经测算,若人均月消费下降x%,则用户人数会增加x8万人.
(1)若要保证该公司月总收入不减少,试求x的取值范围;
(2)为了布局“5G网络”,该公司拟定投入资金进行5G网络基站建设,投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金,若使该公司总盈利最大,试求x的值.(总盈利资金=总收入资金-总投入资金)

6.()国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,飞机票价格为900元/张;若旅行团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,每张飞机票价格就减少10元,直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
(2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?

题组三　拟合函数模型解决问题
7. (2020北京人大附中高一上期中,)如图是吴老师散步时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象,若用黑点表示吴老师家的位置,则吴老师散步行走的路线可能是(　　)

8.(2020河北石家庄二中高一上月考,)如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.

图①

图②

图③
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是　　　　,图③方案是　　　　.
9.(2020辽宁大连高一上期中,)某纪念章从2019年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价(单位:y元)与上市时间(单位:x天)的数据如下:
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=ax+b.
(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

10.(2019江西赣州十四县(市)高一上期中联考,)中国的钨矿资源储量丰富,在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%,居全球首位.中国又属赣州钨矿资源最为丰富,其素有“世界钨都”之称.某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值与这种新合金材料的含量x(单位:克)的关系为:当0≤x<6时,y是x的二次函数;当x≥6时,y=13x-t.测得数据如表(部分).
x(单位:克)
0
1
2
9
…
y
0
74
3
19
…

(1)求y关于x的函数关系式y=f(x);
(2)求函数f(x)的最大值.

答案全解全析
基础过关练
1.C　显然a>4,则由题意可得c4=30,ca=5,
解得c=60,a=144,故选C.
2.C　当x=1时,由3 000=alog3(1+2)得a=3 000,所以到2025年冬,即第7年,y=3 000×log3(7+2)=6 000.故选C.
3.解析　(1)由题图可知该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系,于是设y=kx+b(k≠0).
∵点(3,600),(5,500)在其图象上,
∴3k+b=600,5k+b=500,解得k=-50,b=750,
∴y=-50x+750(3≤x≤12).
(2)设该商品每天的利润为w元.由题意知w=(-50x+750)(x-3)-300,
整理得w=-50(x2-18x+51)=-50[(x-9)2-30].
∵x∈[3,12],∴当x=9时,w取得最大值,最大值为1 500.
故当销售单价定为9元时,该商品每天的利润最大.
4.解析　设广告费为x万元时,广告效益为y万元,销售额为t万元.由题意可设t=kx(k>0),则y=t-x=kx-x.
∵当x=100时,t=1 000,∴1 000=10k,解得k=100,
∴t=100x,∴y=100x-x.
令x=m,则m≥0,y=100m-m2=-(m-50)2+2 500,
∴当m=50,即x=2 500时,y取得最大值,为2 500.
∴该企业投入2 500万元广告费时,能获得最大的广告效益.
5.A　设这种商品的原价为a,则两次提价后的价格为a(1+10%)2=1.12·a,
又进行两次降价后的价格为
1.12·a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2·a=0.992a 因此最终售价与原来的价格相比略有降低,故选A.
6.D　设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=(1+p)(1+q)-1.
7.D　设从2019年起,再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件,根据题意,得2(1+20%)n>6,即1.2n>3,两边取对数,得nlg 1.2>lg 3,∴n>lg3lg1.2=lg3lg3-1+2lg2≈6.03,又n为整数,∴n的最小值为7,又2 019+7=2 026,∴从2026年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D.
8.答案　y=22-6x(011)
解析　根据题意得函数关系式为y=22-6x(011).
9.解析　(1)根据题意,得45p0=p0e-k,
∴e-k=45,∴p(t)=p045t.
(2)由p(t)=p045t≤11 000p0,得45t≤10-3,两边取对数并整理得t(1-3lg 2)≥3,∴t≥30.
因此,至少还需过滤30个小时.
10.B　由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析选项可知B符合,故选B.
11.答案　甲
解析　对于甲:x=3时,y=32+1=10,
对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.
12.解析　(1)由题意得,当0≤x≤100时,y=0.57x;
当x>100时,y=100×0.57+(x-100)×0.5=0.5x+7,
则y关于x的函数关系式为
y=0.57x,0≤x≤100,0.5x+7,x>100.
(2)由x=120>100,得y=67,即应交电费67元.
(3)1月用电:因为76>0.57×100=57,所以x>100,由0.5x+7=76得x=138;
2月用电:因为63>0.57×100=57,所以x>100,由0.5x+7=63得x=112;
3月用电:因为45.6<0.57×100=57,所以0≤x≤100,由0.57x=45.6得x=80,
则138+112+80=330(千瓦时),即第一季度共用电330千瓦时.
13.解析　若以y=a·ekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·e10k=4,a·e40k=18,
解得k≈0.050 136,a≈2.422 8.
∴y=2.422 8e0.050 136x.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比,误差较大.
若以y=a·xn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得a·10n=4,a·40n=18,解得n≈1.085,a≈0.328 9.
∴y=0.328 9x1.085.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际情况误差也较大.
若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得
a·102+b·10+c=4,a·402+b·40+c=18,a·602+b·60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2.
∴y=1150x2+215x+2.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时,停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它比较符合实际情况.
当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,停车距离为114 m.
能力提升练
1.A　依题意得2m=64,218k+m=16,解得m=6,k=-19,
∴y=2-19x+6.
当x=36时,y=2-19×36+6=22=4(时),故选A.
2.D　设该公司的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,
解得a=280×22-0.25=320.
3.解析　(1)当0 当x≥80时,y=100x-101x+8 100x-2 180-500=1 680-x+8 100x.
所以当0 (2)当0 当x≥80时,y=1 680-x+8 100x≤1 680-2x·8 100x=1 500,当且仅当x=8 100x,即x=90时,y取得最大值,最大值为1 500.
所以当年产量为90台时,该企业所获利润最大,最大利润为1 500万元.
4.D　设每年减少的比例为x,因此1克这种放射性元素,经过100年后剩余1×(1-x)100克,依题意得(1-x)100=0.5,所以x=1-1000.5.
3年后剩余为(1-x)3,将x的值代入,得结果为1000.125,故选D.
5.解析　(1)根据题意,设该公司的总收入为W万元,
则W=5010+x81-x100,0 若该公司月总收入不减少,则有50·10+x81-x100≥10×50,
解得0 (2)设该公司总盈利为y万元,
则y=5010+x81-x100-210+x8=-x216+x+480,0 结合二次函数的性质分析可得,当x=8时,该公司的总盈利最大.
6.解析　(1)设旅行团人数为x,飞机票价格为y元/张,
则y=900,0 即y=900,0 (2)设旅行社获利S元,则
S=900x-15 000,0 即S=900x-15 000,0 因为S=900x-15 000在区间(0,30]上单调递增,所以当x=30时,S取最大值12 000,
又因为S=-10(x-60)2+21 000在区间(30,60]上单调递增,在(60,75]上单调递减,
所以当x=60时,S取最大值21 000.
故旅行团人数为60时,旅行社可获得最大利润.
7.D　根据题中图象可知在第一段时间吴老师离家的距离随着时间的增加而增加,第二段时间吴老师离家的距离随着时间的增加不变,第三段时间吴老师离家的距离随着时间的增加而减少,最后回到始点位置,对比各选项可知,只有选项D正确,故选D.
8.答案　降低成本,票价不变;增加票价
解析　由题图①知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图②与题图①相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图②表示降低成本,票价不变,题图③与题图①相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图③表示增加票价,故答案为降低成本,票价不变;增加票价.
9.解析　(1)∵随着时间x的增加,y的值先减后增,而所给的三个函数中y=ax+b和y=ax+b显然都是单调函数,不满足题意,
∴选择y=ax2+bx+c.
(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,
得16a+4b+c=90,100a+10b+c=51,1 296a+36b+c=90,解得a=14,b=-10,c=126.
∴y=14x2-10x+126=14(x-20)2+26,
∴当x=20时,y有最小值,且ymin=26.
故当纪念章上市20天时,该纪念章的市场价最低,最低市场价为26元.
10.解析　(1)当0≤x<6时,由题意,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题中表格数据可得f(0)=c=0,f(1)=a+b+c=74,f(2)=4a+2b+c=3,
解得a=-14,b=2,c=0.
所以当0≤x<6时, f(x)=-14x2+2x.
当x≥6时, f(x)=13x-t,
由题中表格数据可得,f(9)=139-t=19,解得t=7,
所以当x≥6时,f(x)=13x-7.
综上,f(x)=-14x2+2x,0≤x<6,13x-7,x≥6.
(2)当0≤x<6时, f(x)=-14 x2+2x
=-14(x-4)2+4,
所以当x=4时,函数f(x)取得最大值,为4;
当x≥6时,f(x)=13x-7单调递减,
所以f(x)的最大值为f(6)=136-7=3,因为4>3,
所以函数f(x)的最大值为4.