高中数学4.5 函数的应用（二）复习练习题

第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）

4.5.3函数模型的应用练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：

①如一次性购物不超过元不予以折扣；

②如一次性购物超过元但不超过元的，按标价给予九折优惠；

③如一次性购物超过元的，其中元给予折优惠，超过元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（    ）

A．元 B．元 C．元 D．元

2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的倍，土星的公转时间约为．则天王星的公转时间约为（    ）

A． B． C． D．

3．函数的递减区间是（    ）

A． B．和

C． D．和

4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（    ）

A． B． C． D．

5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p，2019年的年增长率为q，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（    ）

A．； B．； C．； D．．

6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C（单位：）随时间t（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（    ）

A．3h B．4h C．5h D．6h

7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

以下函数中最符合变量与的对应关系的是（       ）A． B．

C． D．

8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间x()(单位：月)的关系有三种函数模型(，)､(，)和(，)可供选择，则下列说法正确的是（    ）

A．应选(，)

B．应选(，)

C．应选(，)

D．三种函数模型都可以

9．已知函数若，则（    ）

A．或1 B． C．1 D．3

10．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递速率C大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：，）

12．已测得的两组值为，，现有两个拟合模型，甲：，乙：.若又测得的一组对应值为，则选用________作为拟合模型较好．

13．半径为的半圆中，作如图所示的等腰梯形，设梯形的上底，则梯形的最长周长为_________．

三、解答题

14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．

(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？

(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？

15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(百元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为）

(2)该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？

16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段AB上，点在线段DC上．

(1)当，且点关于轴的对称点为时，求；

(2)当点是面对角线AB的中点，点在面对角线DC上运动时，探究的最小值．

17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X（单位： t，）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将表示为的函数；

(2)根据直方图估计利润不少于57000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量，，则取，且的概率等于需求量落入，的频率），求的分布列．

18．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为万元.

(1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？

(2)是否存在实数m同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

19．某公司今年年初用万元收购了一个项目，若该公司从第年到第（且）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为万元，该项目每年运行的总收入为万元．

(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？

(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：

①当盈利总额最大时，以万元的价格卖出；

②当年平均盈利最大时，以万元的价格卖出．

假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．

20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为（k为常数，为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，求正整数n的最小值．

21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x（，）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；

(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？

22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①，②，③，④；

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；

(3)利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．

四、多选题

23．函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

五、双空题

24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数;t表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.

25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大，此时x＝__________，面积S＝__________.

参考答案：

1．B

【分析】根据题意求出付款元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.

【详解】由题意得购物付款元，实际标价为元，

如果一次购买标价元的商品应付款元.

故选：B.

2．B

【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为和，距离太阳的平均距离为和，根据，，结合已知条件即可求解.

【详解】设天王星的公转时间为，距离太阳的平均距离为，

土星的公转时间为，距离太阳的平均距离为，

由题意知：，，

所以，

所以，

故选：B.

3．B

【分析】分别讨论和，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.

【详解】当时，，，解得：，又为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在区间单调递减，

当时，， 为开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，

综上所述：函数的递减区间是和.

故选：B.

4．A

【分析】首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围.

【详解】设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，

则.

要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.

故选：A

5．D

【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解

【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x，则由题意得：，解得，，因为不合题意，舍去

故选D．

6．A

【分析】利用基本不等式求最值可得．

【详解】依题意，，所以，

所以，

当且仅当，即t＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h．

故选：A．

7．D

【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.

【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢，

A选项，函数增长速度不变，不符合题意.

BC选项，当时，函数、增长越来越快，不符合题意.

D选项，当时，函数的增长速度越来越慢，符合题意.

故选：D

8．A

【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.

【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而(，)的增长速度越来越快，

(，)和(，)的增长速度越来越慢，

故应选择(，).

故选：A.

9．B

【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.

【详解】根据题意得x≤1x2−1=8或，

解得

故选：B

10．B

【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x趋近0时判断排除得选项.

【详解】解：的定义域为，

，是偶函数，排除A，C.

又且无限接近0时，且，此时，排除D，

故选：B.

11．2.5

【分析】设提升前最大信息传递速率为，提升后最大信息传递速率为，根据题意求出，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可

【详解】设提升前最大信息传递速率为，提升后最大信息传递速率为，则由题意可知，，，

所以，

所以最大信息传递速率C会提升到原来的2.5倍．

故答案为：

12．甲

【分析】将分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.

【详解】对于甲：时，，对于乙：时，，因此用甲作为拟合模型较好．

故答案为：甲

13．

【分析】计算得出，设梯形的周长为，可得出，换元，可得出，利用二次函数的相关知识可求得的最大值.

【详解】过点、分别作、，垂足分别为、，

则，，且，所以，四边形为矩形，

所以，，

，，，所以，，

所以，，则，，

，

设梯形的周长为，则，

其中，

令，则，

所以，，

所以，当时，取最大值，即.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

14．(1)15米；

(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.

【分析】（1）设篱笆的一面的长为 x 米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；

（2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可．

（1）

设篱笆的一面AB的长为 x 米，则，

由题意得，，

解得，

，

，

，

所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；

（2）

由题意得，

时， S 取得最大值，此时，，

所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．

15．(1)400吨

(2)最小值800百元，最大值1400百元

【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.

（1）

由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为，显然，

由基本不等式得：，

当且仅当，即时，等号成立

故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；

（2）

对称轴

函数在[400，600]单调递增

当时，

当时，

答：该单位每月处理成本的最小值800百元，最大值1400百元.

16．(1)

(2)

【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由求得，得到与的坐标，再利用两点距离公式求解即可；

（2）由中点坐标公式求得，再根据题意设点，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求的最小值.

（1）

由题意知，，，．

由得，，故，所以，所以．

（2）

因为点是面对角线AB的中点，所以，而点在面对角线DC上运动，故设点，，

则，，

所以当时，取得最小值，此时点．

17．(1)

(2)0.7

(3)59400

【分析】（1）由题意先分段写出，当，和，时的利润值，利用分段函数写出即可；

（2）由（1）知，利润不少于57000元，当且仅当，再由直方图知需求量，的频率为0.7，由此估计得出结论；

（3）先求出利润与的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．

（1）

解：由题意得，当，时，，

当，时，，

（2）

解：由（1）知，利润不少于57000元，当且仅当．

由直方图知需求量，的频率为0.7，

所以下一个销售季度的利润不少于57000元的概率的估计值为0.7；

（3）

解：由题意及（1）可得：

当，时，，；

当，时，，；

当，时，，；

当，时，，．

所以的分布列为：

18．(1)最多有75人

(2)存在，

【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果

（2）根据题目要求①先求解出m关于x的取值范围，再根据x的取值范围求得m的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m的取值范围，综上取交集即可

（1）

依题意可得调整后研发人员有人，年人均投入为万元，

则，解得.

又，，所以调整后的奇数人员最多有75人.

（2）

假设存在实数m满足条件.

由条件①，得，得.

又，，所以当时，取得最大值7，所以.

由条件②，得，不等式两边同除以ax，

得，整理得，

因为，当且仅当，即时等号成立，所以.

综上，得.故存在实数m为7满足条件.

19．(1)第年

(2)选择方案②，理由见解析

【分析】（1）设项目运行到第年的盈利为万元，可求得关于的函数关系式，解不等式可得的取值范围，即可得出结论；

（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.

（1）

解：设项目运行到第年的盈利为万元，

则，

由，得，解得，

所以该项目运行到第年开始盈利．

（2）

解：方案①，

当时，有最大值．

即项目运行到第年，盈利最大，且此时公司的总盈利为万元，

方案②，

当且仅当，即时，等号成立．

即项目运行到第年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为万元.

综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．

20．10

【分析】由题可得，求得，再由可求解.

【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物，

因为，所以，

所以，即，所以，

则由，得，

所以，

故正整数n的最小值为．

21．(1)；

(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.

【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；

（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.

（1）

当，时，

；

当，时，

.

∴.；

（2）

①当，时，

，

∴当时，y取得最大值，最大值为1200万元.

②当，时，

，

当且仅当，即时，y取得最大值1320，

∵，

∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.

22．(1)选择，理由见解析

(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元

(3)

【分析】(1)由表格数据分析变量与变量的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为，由条件可得，利用函数的单调性求的最小值，由此可得k的取值范围．

（1）

由题表知，随着时间x的增大，y的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择．

（2）

把，，分别代入，得

解得，，

∴，．

∴当时，y有最小值，且．

故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．

（3）

令，

因为存在，使得不等式成立，

则．

又在上单调递减，在上单调递增，

∴ 当时，取得最小值，且最小值为，

∴．

23．ABD

【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.

【详解】当时，，图象A满足；

当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；

当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；

图象C过点，此时，故C不成立.

故选：ABD

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

24．     2ln2     1024

【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,

当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.

25．1　12

【详解】S＝(4＋x) ＝－＋x＋12＝－ (x2－2x)＋12＝－ (x－1)2＋.

当x＝1时，Smax＝,故填1, .