高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试一课一练

专题强化练7　函数零点的综合运用

一、选择题

1.(2020河北唐山一中高一上期中,)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.(-2,-1) B.(-1,0)

C. D.

2.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下:

那么方程x-3+log3x=0的一个近似根(精确度0.1)为(　　)

A.2.1 B.2.2

C.2.3 D.2.4

3.(2020北京人大附中高一上期中,)已知函数f(x)=x2-2ax+5在x∈[1,3]上有零点,则正数a的所有可取的值的集合为(　　)

A.

B.[,+∞)

C.[,3]

D.(0,]

4.(2019湖南衡阳八中高一上期中,)已知f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.(0,2)

C.(0,2] D.(0,+∞)

5.(多选)(2020山东济南外国语学校第一次阶段考,)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件是(　　)

A.n=4 B.n=-5

C.n=-1 D.n=-12

二、填空题

6.(2020广西柳铁一中高一上期中,)方程x2-2mx+m2-1=0的一根在(0,1)内,另一根在(2,3)内,则实数m的取值范围是　　　　. 

7.(2020浙江嘉兴一中高一上期中,)若函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　. 

三、解答题

8.(2020山东淄博高一上期末质量检测,)已知函数f(x)=2x,g(x)=log2x.

(1)若x0是方程f(x)=-x的根,证明是方程g(x)=-x的根;

(2)设方程f(x-1)=-x,g(x-1)=-x的根分别是x1,x2,求x1+x2的值.深度解析

9.()已知f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R).

(1)设g(x)=f(x)-a+1,k=2,若函数g(x)存在零点,求a的取值范围;

(2)若f(x)是偶函数,设h(x)=log2,若函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点,求实数b的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.C　∵函数f(x)=ex+4x-3在R上连续,且f(0)=e0-3=-2<0, f=+2-3=-1=-e0>0,∴f(0)·f<0,∴函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为.故选C.

2.C　由参考数据可得f(2.25)·f(2.312 5)<0,且|2.312 5-2.25|=0.062 5<0.1,因此[2.25,2.3125]内的任意值都可为方程的近似解,故选C.

3.C　由f(x)=x2-2ax+5=0,

得2a=x+,x∈[1,3].

设g(x)=x+,1≤x≤3.

则g(x)≥2=2,当且仅当x=时取等号.

又g(1)=6,g(3)=<6,

∴g(x)的值域为[2,6].

依题意得,2≤2a≤6,即≤a≤3,故选C.

4.A　由f(x)-a=0得f(x)=a,作出函数f(x)的图象如图所示.

由方程f(x)=a有三个不同的实数根知,0<a<1,故选A.

5.BCD　设f(x)=x2+4x+n,则函数的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为直线x=-2,要使一元二次方程x2+4x+n=0有正数根,则满足f(0)<0,即n<0,所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以为B、C、D,故选BCD.

二、填空题

6.答案　(1,2)

解析　设f(x)=x2-2mx+m2-1,

∵f(x)=0的一个零点在(0,1)内,另一个零点在(2,3)内,

∴即解得1<m<2.故答案为(1,2).

7.答案　(1,5-]

解析　当x=0时,f(0)=a2-2a+2=(a-1)2+1>0,因此x=0不是f(x)的零点.

当x=2时,f(2)=16-8a+a2-2a+2=a2-10a+18,

由f(2)=0,得a=5±,

若a=5+,则另一根x2=5+-2=3+∉[0,2];

若a=5-,则另一根x2=5--2=3-∈[0,2].

∴a=5-符合题意.

若f(x)在(0,2)内有两个零点,

则

即解得1<a<5-.

综上所述,a的取值范围是(1,5-].

三、解答题

8.解析　(1)证明:因为x0是方程f(x)=-x的根,

所以=-x0,即x0=-,

g()=log2=x0=-,

所以是方程g(x)=-x的根.

(2)由题意知,方程2x-1=-x,log2(x-1)=-x的根分别是x1,x2,

即方程2x-1=-(x-1),log2(x-1)=-(x-1)的根分别为x1,x2.

令t=x-1.

设方程2t=-t,log2t=-t的根分别为t1,t2,则t1=x1-1,t2=x2-1,

由(1)知t1是方程2t=-t的根,则是方程log2t=-t的根.

令h(t)=log2t+t-,则是h(t)的零点,

又因为h(t)是(0,+∞)上的增函数,

所以是h(t)的唯一零点,即是方程log2t=-t的唯一根.

所以=t2,

所以t1+t2=t1+=,即(x1-1)+(x2-1)=,

所以x1+x2=+2=.

解题模板　将第(2)题的方程变形,构造新的方程,利用第(1)题的结论解题,解题时利用前面小题的结论解答后面的问题,是思路探究的常见手段,平时要注意学习总结.

9.解析　(1)函数g(x)存在零点,即f(x)=a-1有解.

∵k=2,∴f(x)=log2(4x+1)-2x

=log2=log2.

∵1+>1,∴log2>0,

即f(x)>0.

∵f(x)=a-1有解, f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,

∴a-1>0,即a>1,

∴a的取值范围是(1,+∞).

(2)∵f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R)的定义域为R, f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),

∴log2+k=log2(4+1)-k,∴k=1,检验: f(x)=log2(4x+1)-x=log2=log2(2x+2-x),

f(-x)=log2(2-x+2x),

∴f(x)=f(-x),

又f(x)的定义域为R,∴f(x)为偶函数.

∵函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点,

∴方程f(x)=h(x)只有一个解,即2-x+2x=b·2x-b只有一个解,即3(b-1)22x-4b·2x-3=0只有一个解,

令t=2x,t>0,则3(b-1)t2-4bt-3=0只有一个正根,

当b=1时,t=-<0,不符合题意;

当b≠1时,若方程有两个相等的正数根,则Δ=(-4b)2-4×3(b-1)×(-3)=0,且>0,解得b=-3,

当方程有两个不相等的实数根且只有一个正数根时,∵y=3(b-1)t2-4bt-3的图象恒过点(0,-3),∴只需图象开口向上,即b-1>0,解得b>1.

综上,b的取值范围是{-3}∪(1,+∞).