2021学年第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）课时练习

4.5　函数的应用(二)

4.5.1　函数的零点与方程的解

基础过关练

题组一　求函数的零点

1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)

A.,0 B.-2,0 C. D.0

2.函数f(x)=4x-2x-2的零点是(　　)

A.(1,0) B.1 C. D.-1

3.若是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零点,则f(x)的另一个零点为　　　　. 

4.函数f(x)=-x的零点是　　　　. 

题组二　判断函数的零点所在的区间

5.(2020湖南衡阳八中高一上期中)函数f(x)=ln x+x-3的零点所在的区间为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

6.(2020山东师大附中高一上第一次学分认定考试)根据表格中的数据,可以判断方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是(　　)

A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

7.设x0是方程ln x+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　.  

8.求证:方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.

题组三　判断函数的零点个数

9.对于函数f(x),若f(-1)·f(3)<0,则(　　)

A.方程f(x)=0一定有实数解

B.方程f(x)=0一定无实数解

C.方程f(x)=0一定有两个实数解

D.方程f(x)=0可能无实数解

10.方程0.9x-x=0的实数解的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

11.函数f(x)=3x|lox|-1的零点个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

12.判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.

题组四　根据零点情况求参数范围

13.(2020山东滨州高一上期末) 已知函数f(x)=若函数y=f(x)-k有三个零点,则实数k的取值范围为(　　)

A.(-2,-1] B.[-2,-1]

C.[1,2] D.[1,2)

14.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是　　　　.  

15.已知二次函数f(x)满足: f(0)=3, f(x+1)=f(x)+2x.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)令g(x)=f(|x|)+m(m∈R),若函数g(x)有4个零点,求实数m的取值范围.

能力提升练

题组一　求函数的零点

1.(2020湖北宜昌一中高一上期中,)已知奇函数f(x)=+a(a≠0),则方程f(x)=的解x=　　　　. 

2.(2020黑龙江大庆实验中学高一期中,)已知a∈R,函数f(x)=

(1)求f(1)的值;

(2)求函数f(x)的零点.

题组二　判断函数的零点所在的区间

3.(2020江苏江阴四校高一上期中,)函数f(x)=-|x-2|+ex的零点所在区间为(　　)

A.(-1,0) B.(0,1)

C.(1,2) D.(2,3)

4.(2020山西忻州一中高一月考,)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是(　　)

A.a<1<b B.a<b<1

C.1<a<b D.b<1<a

题组三　判断函数的零点个数

5.()已知函数f(x)=方程f(x)·[f(x)-b]=0,b∈(0,1),则方程的根的个数是(　　)

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.(2020河北唐山一中高一上期中,)已知函数f(x)=则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为(　　)

A.1 B.3 C.4 D.6

7.(2019浙江嘉兴一中高一上期中,)已知函数f(x)=|log2x|,g(x)=则方程|f(x)-g(x)|=1的实数根的个数为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

8.(2019天津和平高一上期中质监,)函数f(x)=的零点的个数是　　　　. 

题组四　根据零点情况求参数范围

9.(2020河北辛集中学高一上期中,)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是(　　)

A.(0,+∞) B.(-∞,1)

C.(1,+∞)  D.(0,1]

10.(2020黑龙江东部地区四校高一上期末联考,)函数f(x)=|4x-x2|-a的零点的个数为3,则a=　　　.深度解析 

11.(2020河南省实验中学高一上期中,)已知函数f(x)=若方程f(x)=a有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则+x3+x4的取值范围是　　　　. 

12.(2020湖南张家界高一上期末,)已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R.

(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;

(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;

(3)若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x1<x2),求实数a的取值范围.易错

答案全解全析

基础过关练

1.D　当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=,此时无解.综上所述,函数f(x)的零点为0.故选D.

2.B　由f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0,得2x=2,解得x=1.

3.答案　1

解析　由f=2×-a+3=0,得a=5,则f(x)=2x2-5x+3.令f(x)=0,即2x2-5x+3=0,解得x1=,x2=1,所以f(x)的另一个零点是1.

4.答案　±1

解析　令-x=0,显然x≠0,易得x2=1,解得x=±1,

∴函数f(x)=-x的零点是±1.

5.C　∵f(1)=ln 1+1-3=-2<0,

f(2)=ln 2+2-3=ln 2-1<0,

f(3)=ln 3+3-3=ln 3>0,且f(x)的图象是连续不断的,

∴f(x)在(2,3)内有零点,故选C.

6.C　设f(x)=ex-x-2,由题中表格的数据得,

f(-1)=-0.63<0,f(0)=-1<0,f(1)=-0.28<0, f(2)=3.39>0,f(3)=15.09>0,

又f(x)的图象是连续不断的,

因此f(x)在(1,2)内有零点,故选C.

7.答案　2

解析　令f(x)=ln x+x-4,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,

∵f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,

∴f(x)仅在(2,3)内有零点,∴k=2.

8.证明　由题意得方程5x2-7x-1=0的判别式Δ=69>0,故方程共有两个不等实数根,

设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.

∵f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-1的图象在R上是连续不断的,

∴f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有零点,

即方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.

9.D　∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,∴由f(-1)·f(3)<0不一定能得出函数f(x)在(-1,3)上有零点,即方程f(x)=0可能无实数解.

10.B　0.9x-x=0的实数解的个数即函数y=0.9x的图象和直线y=x的交点个数.数形结合求得y=0.9x的图象和直线y=x的交点个数为1(图略).

11.B　由f(x)=3x|lox|-1=0得|lox|=3-x,

分别作出函数y=|lox|与y=3-x的图象,如图,

由图可知,两个函数图象的交点个数为2,

即函数f(x)=3x|lox|-1的零点个数为2,故选B.

12.解析　解法一:函数对应的方程为ln x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点的个数.

在同一平面直角坐标系下,作出两个函数的图象(如图).

由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点,从而ln x+x2-3=0只有一个根,

即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.

解法二:∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,

f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,

∴f(1)·f(2)<0,

又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,所以f(x)在(1,2)上必有零点,

又f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,所以函数的零点有且只有一个.

13.A　当x≤0时,f(x)=(x+1)2-2;当x>0时,f(x)=-2+ln x.

作出f(x)的图象如图所示.

令f(x)-k=0得f(x)=k,

由图象知,y=f(x)-k有三个零点时f(x)的图象与直线y=k有三个交点,因此-2<k≤-1.故选A.

14.答案　

解析　易知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增,

又∵函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,

∴f(1)=+a<0,∴a<-.

15.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

∵f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=ax2+bx+3,

∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+a+b+3,

f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3.

∵f(x+1)=f(x)+2x,

∴解得

∴函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+3.

(2)由(1)得,g(x)=x2-|x|+3+m,

在平面直角坐标系中,画出函数g(x)的图象,如图所示,

由于函数g(x)有4个零点,因此函数g(x)的图象与x轴有4个交点.

由图象得解得-3<m<-,

即实数m的取值范围是.

能力提升练

1.答案　log34

解析　由f(x)是奇函数知f(x)+f(-x)=0,

即+a++a=0,化简得2a-1=0,解得a=,因此f(x)=+,

依题意得+=,即3x=4,解得x=log34.故f(x)=的解x=log34.

2.解析　(1)当x>0时,

f(x)=1-,所以f(1)=1-=0.

(2)①当x>0时,令f(x)=0,

即1-=0,解得x=1>0.

所以1是函数f(x)的一个零点.

②当x<0时,令f(x)=0,

即(a-1)x+1=0.(*)

当a>1时,

由(*)得x=<0,

所以是函数f(x)的一个零点;

当a=1时,方程(*)无解;

当a<1时,由(*)得x=>0(舍去).

综上所述,当a>1时,函数f(x)的零点是1和;当a≤1时,函数f(x)的零点是1.

3.B　f(-1)=-|-1-2|+e-1=-3+<0,f(0)=-2+e0=-1<0,f(1)=-1+e1=e-1>0,

∴f(x)在(0,1)内存在零点.故选B.

4.A　令f(x)=0,即ex+x-2=0,则ex=2-x,

令g(x)=0,即ln x+x-2=0,则ln x=2-x,设y1=ex,y2=ln x,y3=2-x,

在同一坐标系下,作出函数y1=ex,y2=ln x,y3=2-x的图象,如图.

∵函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,

∴y1=ex与y3=2-x图象的交点的横坐标为a,y2=ln x与y3=2-x图象的交点的横坐标为b,由图象知a<1<b,故选A.

5.D　由f(x)[f(x)-b]=0,得f(x)=0或f(x)=b,作出f(x)的图象如图.

由图象知, f(x)=0有2个根,f(x)=b(0<b<1)有3个根,因此方程共有5个根,故选D.

6.C　令f(x)=1,当x∈(-1,3)时,|log2(x+1)|=1,解得x1=-,x2=1.当x∈[3,+∞)时,=1,解得x3=5.综上, f(x)=1的解为x1=-,x2=1,x3=5,令g(x)=f[f(x)]-1=0,作出f(x)的图象如图所示.

由图象可得f(x)=-无解,f(x)=1有3个解,f(x)=5有1个解,因此函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为4,故选C.

7.C　由|f(x)-g(x)|=1得, f(x)-g(x)=±1,∴f(x)=g(x)+1或f(x)=g(x)-1.在同一坐标系中作出y=f(x)与y=g(x)+1的图象,如图所示.

由图象知,f(x)=g(x)+1有3个不同的实数根.

在同一坐标系作出y=f(x)与y=g(x)-1的图象,如图所示.

由图象知, f(x)=g(x)-1有一个实数根.

因此,|f(x)-g(x)|=1的实数根的个数为4,故选C.

8.答案　4

解析　当x≤0时,

f(x)=0⇔|x+2|-1=0

⇔|x+2|=1⇔x=-3或x=-1,

此时f(x)有2个零点.

当x>0时,f(x)=0⇔ln x=x2-2x.

在同一坐标系中作出y=ln x与y=x2-2x的图象,如图所示,

由图象知f(x)有2个零点.因此f(x)的零点个数为4.

9.D　作出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时,y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实数根,所以0<k≤1,故选D.

10.答案　4

解析　令函数f(x)=|x2-4x|-a=0,可得|x2-4x|=a.由于函数f(x)=|x2-4x|-a的零点个数为3,故函数y=|x2-4x|的图象和直线y=a有3个交点,如图所示:

故a=4.故答案为 4.

解题模板　解决函数零点的个数、函数零点的范围等问题,图象法是最有效的手段,将一个函数的零点问题转化为两个不同类型函数的图象交点问题是常见的技巧,剩下的问题就是看图说话了.

11.答案　(7,8)

解析　作出函数f(x)的图象如图所示.

由方程f(x)=a有4个解,知0<a<1,且0<x1<1<x2<2<x3<3<x4.

由|log2x1|=|log2x2|得-log2x1=log2x2⇒log2(x1x2)=0⇒x1x2=1.

由x3,x4关于x=3对称,得x3+x4=6,

∴+x3+x4=+6=+6=+5.

∵2<x3<3,∴<<,∴2<<3,

∴7<+5<8.

因此+x3+x4的取值范围是(7,8).

12.解析　(1)由f(-x)=f(x)得|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意实数x都成立,∴a=0.

(2)当x∈[-2,2]时, f(x)=4+4x,令4+4x=0,解得x=-1;

当 x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4,令2x2+4x-4=0,解得x=-1±,∴x=-1-.

综上,函数f(x)的零点为-1和-1-.

 (3)当|x|≤2时, f(x)=ax+4,方程ax+4=0在(0,4)上最多有一个实数根;

当|x|>2时, f(x)=2x2+ax-4,可得方程2x2+ax-4=0,

若x1,x2均为该方程的两个根,则x1·x2=-2,不合题意.

故x1∈(0,2],x2∈(2,4).

由ax1+4=0得a=-,∴a≤-2;

由2+ax2-4=0得a=-2x2,∴-7<a<-2.

综上所述,a的取值范围为-7<a<-2.

易错警示　解决含绝对值的函数问题,应先将含绝对值的函数化为分段函数,再按分段函数问题的解法解题,解题时要注意分段的准确性,防止因分段不当导致解题错误.