人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教案

直线、圆的位置关系

【学习目标】

1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.

【要点梳理】

要点一、直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点.

2.直线与圆的位置关系的判定：

(1)代数法：

判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点.

有两组实数解时，直线与圆C相交；

有一组实数解时，直线与圆C相切；

无实数解时，直线与圆C相离.

(2)几何法：

由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：

当时，直线与圆C相交；

当时，直线与圆C相切；

当时，直线与圆C相离.

要点诠释：

(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.

(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.

(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.

例1.已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.

【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决.

【答案】相交

【解析】解法一：∵x2+y2=4，

∴圆心为(0，0)，半径r=2.

又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为.∴直线与圆相交.

解法二：∵  ∴(2x+1)2+x2=4，

即5x2+4x-3=0.

判别式Δ=42-4×5×(-3)=76＞0.

∴直线与圆相交.

【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.

例2．已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x2+y2―4x―2y+1=0．当m为何值时，圆与直线

    （1）有两个公共点；

（2）只有一个公共点；

（3）没有公共点．

【答案】（1）m＞0或（2）m=0或（3）

【解析】  解法一：将直线mx―y―m―1=0代入圆的方程化简整理得，

(1+m2)x2―2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0．

∵Δ=4m(3m+4)，

∴当Δ＞0时，即m＞0或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

当Δ=0时，即m=0或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

当Δ＜时，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

解法二：已知圆的方程可化为(x―2)2+(y―1)2=4，

即圆心为C（2，1），半径r=2．

圆心C（2，1）到直线mx―y―m―1=0的距离

．

当d＜2时，即m＞0或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

当d=2时，即m=0或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

当d＞2时，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．

【变式1】求实数m的范围，使直线与圆分别满足：

(1)相交；(2)相切；(3)相离．

【答案】（1）或（2）（3）

【解析】圆的方程化为标准为，故圆心(3，0)到直线的距离，圆的半径．

(1)若相交，则，即，所以或．

(2)若相切，则，即，所以．

(3)若相离，则，即，所以．

【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单．

要点二、圆的切线方程的求法

1．点在圆上，如图．

法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率

的乘积等于，即．

法二：圆心到直线的距离等于半径．

2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．

要点诠释：

因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．

常见圆的切线方程：

（1）过圆上一点的切线方程是；

（2）过圆上一点的切线方程是.

类型二：切线问题

例3．过点作圆的切线,求切线的方程.

【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．

【答案】或

【解析】

因为，所以点在圆外。

法一：设过点与圆相切的直线为,即.

因为圆心到的距离,则,即.解得

或.

 从而,切线方程为或.

解法二:设过点与圆相切的直线为.

由可得.从而

.

解得或.

从而,切线方程为或.

【总结升华】  求圆的切线方程一般有三种方法：

（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；

（2）待定系数法；

（3）定义法．

一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．

【变式1】（1）求圆x2+y2=10的切线方程，使得它经过点；

（2）求圆x2+y2=4的切线方程，使得它经过点Q（3，0）．

     【答案】（1）（2）

要点三、求直线被圆截得的弦长的方法

1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．

2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．

3．利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=．

类型三：弦长问题

例4．直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程．

【答案】x―2y+5=0或2x―y―5=0

【解析】 法一：根据题意知直线的斜率存在，设直线的方程为y―5=k(x―5)

圆心（0，0）到直线的距离，在由弦长的一半、半径和距离构成的直角三角形中，

，解得或k=2

故直线的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．

法二： 根据题意知直线的斜率存在，

设直线的方程为y―5=k(x―5)与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）,

联立方程，消去y，得(k2+1)x2+10k(1―k)x+25k(k―2)=0，

∴Δ=[10k(1―k)]2―4(k2+1)·25k(k―2)＞0，解得k＞0．

又，．

由斜率公式，得y1―y2=k(x1―x2)，

∴

       ．

两边平方，整理得2k2―5k+2=0，

解得或k=2，符合题意．

故直线的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．

【点评 】 设直线的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x―x0)2+(y―y0)2=r2，求弦长的方法有以下两种：

（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O作的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2=r2―d2．

则弦长|AB|=2|BC|，即．

（2）代数法：解方程组，

消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则

【变式1】 求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为的直线的方程．

【答案】x+y―2=0或7x+17y+26=0

【解析】 如图所示，，，作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，．

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y+4=k(x―6)，即kx―y―6k―4=0．又圆到直线的距离为，

∴，即17k2+24k+7=0，∴k1=―1，．

∴所求直线方程为x+y―2=0或7x+17y+26=0．

要点四、圆与圆的位置关系

1.圆与圆的位置关系：

(1)圆与圆相交，有两个公共点；

(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；

(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.

2.圆与圆的位置关系的判定：

(1)代数法：

判断两圆的方程组成的方程组是否有解.

有两组不同的实数解时，两圆相交；

有一组实数解时，两圆相切；

方程组无解时，两圆相离.

(2)几何法：

设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.

当时，两圆相交；

当时，两圆外切；

当时，两圆外离；

当时，两圆内切；

当时，两圆内含.

要点诠释：

判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.

3.两圆公共弦长的求法有两种：

方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．

方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．

4．两圆公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．

（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；

（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；

（3）两圆相交时，只有2条外公切线；

（4）两圆内切时，只有1条外公切线；

（5）两圆内含时，无公切线．

圆与圆的位置关系

例5．已知圆C1：x2+y2―2mx+4y+m2―5=0，圆C2：x2+y2+2x―2my+m2―3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？

【思路点拨】利用几何法或代数法都可以判断．

【答案】（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m＜―1．

【解析】  对于圆C1，圆C2的方程，配方得

C1：(x―m)2+(y+2)2=9，C2：(x+1)2+(y―m)2=4．

（1）如果圆C1与圆C2相外切，则有，即

(m+1)2+(m+2)2=25，m2+3m―10=0，

解得m=―5或m=2．

（2）如果圆C1与圆C2内含，则有，即

(m+1)2+(m+2)2＜1，m2+3m+2＜0，解得―2＜m＜―1．

故（1）当m=―5或m=2时，圆C1与圆C2相外切；（2）当―2＜m＜―1时，圆C1与圆C2内含．

【总结升华】  利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可．

【变式1】当a为何值时，圆C1：x2+y2―2ax+4y+(a2―5)=0和圆C2：x2+y2+2x―2ay+(a2―3)=0相交．

【答案】当―5＜a＜―2或―1＜a＜2时，圆C1与圆C2相交

【变式2】已知圆C1：x2+y2+2x―6y+1=0，圆C2：x2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

【解析】 因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组，消去x2和y2项，即得两圆的交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．

设两圆交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B两点坐标是方程组的解，①―②得3x―4y+6=0．

∵A、B两点坐标都满足此方程，

∴3x―4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程．

易知圆C1的圆心为（―1，3），半径r=3．

又C1到直线AB的距离为．

∴，即两圆的公共弦长为．

【总结升华】  求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用．

类型五：最值问题

    例6．已知实数x、y满足方程x2+y2―4x+1=0，

求：（1）的最大值；（2）y―x的最小值．

【思路点拨】将x2+y2―4x+1=0、、y―x赋予几何意义，利用数形结合来解决．

【答案】（1）（2）

【解析】

将实数x、y看作点P（x，y）的坐标，满足x2+y2―4x+1=0的点P（x，y）组成的图形是以M（2，0）为圆心，半径为的圆，如图所示．

（1）设，即是圆上的点P与原点O连线的斜率．

由图知，直线y=kx和圆M在第一象限相切时，k取最大值．

此时有OP⊥PM，，|OM|=2，∴∠POM=60°

此时，∴的最大值为．

（2）设y―x=b，则y=x+b，b是直线y=x+b在y轴上截距．由图知，当直线y=x+b和圆M在第四象限相切时，b（b＜0）取最小值，此时有，解得，

∴y―x的最小值是．

【总结升华】  利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y轴上的截距等．

【变式1】已知点P（x，y）是圆(x―3)2+(y―3)2=4上任意一点，求点P到直线2x+y+6=0的最大距离和最小距离．

【答案】 

【解析】  圆心到直线2x+y+6=0的距离，

如图，过圆心C作直线2x+y+6=0的垂直线，与圆C交于A，B两点．

可知这两点就是直线2x+y+6=0的距离最大和最小的点．

∴，．

【总结升华】本题主要考查直线与圆的位置关系和用数形结合法求距离，由于直线与圆相等，我们可将直线向圆平移，平移中会得到圆的两条切线，可知这两条切线到已知直线的距离分别是最大距离和最小距离．

【变式2】已知实数x，y满足，求(1)x2+y2的最大值；(2)x+y的最小值．

【答案】（1）16 （2）

【解析】

于是(x，y)可以看作是以为圆心，2为半径的圆上的点．

如图

（1）x2+y2可看作是圆上的点到原点的距离的平方，

由图显然最大为2r=4，所以x2+y2的最大值为16．

    （2）解法同例6（2）．