必修 第一册5.1 任意角和弧度制达标测试

5.1任意角和弧度制同步练习人教 A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知扇形的周长为10cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为    

A.  B.  C.  D. 或8

2. 设，，则   

A.  B.  C.  D.

3. 已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

4. 已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为   

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

5. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为

A.  B.  C.  D.

6. 与角终边相同的角是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积即阴影部分面积为         

A.
B.
C.
D.

8. 在0到范围内，与角终边相同的角是

A.  B.  C.  D.

9. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是   

A. 2 B.  C.  D.

10. 下列各角中，与角终边相同的是       

A.  B.  C.  D.

11. 下列转化结果正确的是   

A. 化成弧度是 B. 化成角度是
C. 化成弧度是 D. 1rad化成角度是

12. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是     

A. 2 B.  C.  D.

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形菜田，下周长弧长为16米，径长两段半径的和为20米，则该扇形菜田的面积为          平方米．
14. 与终边相同的最小正角是          ．
15. 已知扇形的面积为，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的弧长为          ．
16. 如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为          ．

17. 如图，在中，，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分的面积，且弧度，则          ．
    
     

18. 已知扇形的圆心角为，弧长为2cm，则这个扇形的面积等于          ．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l．

    若，，求扇形的弧长l；

    若扇形AOB的周长为10cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的．






 

20. 已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．
    已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知．
    把写成的形式；
    求，使得与的终边相同，且．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知一个扇形的周长是40．

若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；

求扇形面积S的最大值






 

23. 已知．

把角写成的形式，指出它是第几象限的角；

求出的值，使与的终边相同，且．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据弧长公式求出扇形圆心角的弧度数．

【解答】

解：设扇形的弧长为l，半径为r，则，
，则，
解得：或，
当时，，，
当时，，，故舍去，
扇形的圆心角的弧度数是．
故选C．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合之间的关系，终边相同的角，是基础题．
讨论k为偶数和k为奇数时，结合N，M的表示，从而确定N与M的关系．

【解答】

解：，
当k为偶数，即，时，
，，
当k为奇数，即，时，
，，
又，
．
故选A．
 

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查扇形的弧长的计算，结合扇形的弧长公式，面积公式建立方程是解决本题的关键．根据扇形的弧长公式以及面积公式分别进行计算即可．

【解答】

解：设扇形的半径为r，弧长为l，
扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数为2，
则，，
即，
即，则扇形的弧长，
故选：B．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．

【解答】

解：设扇形的半径为r，
则，
解得．
扇形的弧长．
故选B．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了扇形的面积计算问题，也考查了古典文化与数学应用问题，属于中档题．
由题意知与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，可设与所在扇形圆心角分别为、，列出方程组求出即可．

【解答】

解：由题意知，与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，

设与所在扇形圆心角分别为，，
则，
又，
解得．
故选：A．
 

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

直接写出终边相同角的集合得答案．
本题考查了终边相同角的概念，是基础的计算题．

【解答】

解：与角终边相同的角的集合为，
取，得．
与角终边相同的角是．
故选：A．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．

【解答】解：过A作于D，
是等边三角形，

，，
，
，，
的面积为 B C A D，
，
莱洛三角形的面积
故选C．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．
与角终边相同的角是 ，，由此可解．

【解答】

解：与角终边相同的角是 ，，
令，可得与角终边相同的角是，
所以在0到范围内，与角终边相同的角是，
故选：C．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属于综合题．
连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦长是1，故可解得半径是，进而利用弧长公式求弧长即可．
【解答】

解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为1弧度，
故半径为，
这个圆心角所对的弧长为，
故选：C．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查角的概念，终边相同的角的集合，属于基础题．
首先写出与终边相同的角的集合，再通过赋值求解．

【解答】

解：与角终边相同的角的集合是，

当时，．

故选D．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查角度制与弧度制的互化，考查计算能力，属于基础题．
根据角度制与弧度制的互化公式对选项逐一计算可得．

【解答】

解：对于A，化成弧度是，故A错误；
对于B，化成角度是，故B错误；
对于C，，，故C错误；
对于D，，，故D正确．
故选D．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题给出扇形的圆心角和弦长，求扇形的弧长，属于中档题．
设扇形OAB中，过O点作于点C，延长OC交弧AB于D点．在利用三角函数的定义求出半径AO长，再代入弧长公式加以计算，可得所求弧长的值．

【解答】

解：如图所示，设扇形OAB中，圆心角，
过O点作于点C，延长OC，交弧AB于D点，

则，，
中，，得半径，
弧AB长．
故选B．

13.【答案】80
 

【解析】

【分析】

本题是一道计算扇形面积的题目，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
首先根据题意可知，弧长，半径；接下来根据扇形的面积公式，即可得出答案．

【解答】

解：由题意可得：弧长米，半径米，
扇形面积平方米．
故答案为80．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查终边相同的角，属于基础题．
直接把写成的整数倍加到之间的一个正角的形式即可得到答案．

【解答】

解：，

与终边相同的最小正角是．
故答案为．

15.【答案】4cm
 

【解析】

【分析】

本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长即可得解．

【解答】

解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为，半径为r，扇形的面积为S，
则：解得，
扇形的弧长为，
故答案为：4cm．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键，考查了数形结合思想，属于一般题．
利用扇形的面积公式求出及，结合图形计算即可．

【解答】

解：设，，
，
则由题意可得：，
解得：．
故答案为：．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了扇形面积公式和三角形面积公式．

设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论． 

【解答】

解： 设扇形的半径为r，
则扇形的面积为，直角三角形POB中，，
的面积为，由题意得，
，
．

故答案为．

18.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查弧长公式及扇形面积公式，根据题意利用弧长公式先求得半径r，进而利用扇形面积公式即可求得结果．

【解答】

解：，

由弧长，得，

解得，

因此扇形的面积为．

故答案为．

19.【答案】解：，

．

由已知得，，   

所以，，   

所以当时，面积S取得最大值，

此时，，．

【解析】把角度化为弧度，利用弧长公式即可计算得解；

由已知得，可求得，利用二次函数的图象和性质即可得解．

本题主要考查了弧长公式，二次函数的图象和性质，扇形面积．

20.【答案】解：设扇形的圆心角大小为，半径为r，
则由题意可得：，
联立解得：扇形的圆心角．
设扇形的半径和弧长分别为r和l，
由题意可得，
扇形的面积．
当时S取最大值，此时，
此时圆心角为，
当半径为10，圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．
 

【解析】本题主要考查了扇形的弧长公式为，面积公式，扇形的周长公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题．
根据扇形的面积与弧长的关系求解
根据扇形的面积与弧长的关系，列出面积与半径的函数表达式，求解最值．
 

21.【答案】解：
与的终边相同，故，，
又，所以取，．
 

【解析】本题考查角度制和弧度制的互换以及终边相同的角的概念，属于基础题．
由题意首先将化为，然后转化为弧度制可得；
由题意可知，，结合角的范围可知，取，此时．
 

22.【答案】解：设扇形的弧长为l，半径为r，所以，
，

解得：，，
扇形的圆心角的弧度数是：；

设扇形的半径和弧长分别为r和l，
由题意可得，
扇形的面积．
当半径为10时，扇形的面积最大，最大值为100．

【解析】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查了二次函数的性质以及学生的计算能力，属于基础题．
根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数；
由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得，扇形的面积，由二次函数的性质可得S的最大值．
 

23.【答案】解：，，
把写成的形式为，它是第三象限角．

与的终边相同，  令，  取或就得到满足的角：  ，．
或．

【解析】本题考查角的知识，终边相同相同的角，考查推理能力，属于基础题．
首先把写成的形式，判断出是哪个象限的角，
与的终边相同，  令，  取或就得到满足的角，