数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）课堂检测

《函数的应用（二）》真题探源

考情揭秘 函数的零点往往与方程的实根的个数、函数的图像和性质相结合,考查零点个数的判断,讨论零点的存在区间和零点的个数,有时以求某些参数的范围的形式考查,二分法的考查主要是对其思想方法、步骤程序的一个考查,通常均是以选择题和填空题形式出现,但还是有一定的难度.利用指数函数、对数函数模型解应用问题的考查主要是培养学生的建模能力,在自主招生、学科竞赛中有一定的指导意义.

题型1 确定函数零点方程的根所在区间

例1（1）（云南学考）函数的零点所在的区间为（    ）.

A.（2,3）

B.（3,4）

C.（0,1）

D.（1,2）

（2）（2017·云南学考）设是常数,,是的零点.若,,则下列不等式正确的是（    ）.

A.

B.

C.

D.

（3）（2017·浙江普通高中学业水平考试）若实数a,b,c满足1<b<a<2,0<c<,则关于x的方程(    ).

A.在区间（-1,0）内没有实数根

B.在区间（-1,0）内有一个实数根,在（-1,0）外有一个实数根

C.在区间（-1,0）内有两个相等的实数根

D.在区间（-1,0）内有两个不相等的实数根

真题探源 本例取材于教材P144练习第2题及P155习题4.5第2题,主要考查函数零点存在性定理、函数的单调性等基本知识,考查数学运算和逻辑推理的学科素养.

思路点拨 （1）,,所以零点∈（2,3）,故选A.

（2）令,的零点,则,其图像是由的图像向下平移2017个单位长度得到的,它与x轴的交点也分别向左、向右移动,故.

（3）,对称轴,所以在（-1,0）内有两个不同的零点,故选D.

答（1）A（2）C（3）D

答题模板

确定函数零点所在区间的答题步骤

定理法是指利用函数零点的存在性定理,通过判断区间端点的函数值的积的符号来确定函数零点的方法.此种方法适用于判断函数的零点所在的区间、求函数零点的近似值、求方程根的近似值、求两个函数图像交点的横坐标所在的范围等问题.其步骤为：

第一步：判断单调性.判断给出的函数的单调性.

第二步：确定符号.确定区间端点对应的函数值的符号.

第三步：得出结论.通过得到函数零点所在的区间（a,b）.

题型2 确定函数零点的个数

例2（1）（天津高考）已知函数,函数,则函数的零点个数为(    ).

A.2

B.3

C.4

D.5

（2）（2018·河北秦皇岛高一期末统考）函数,所有零点组成的集合为（    ）.

A.{1}

B.{-1}

C.{-1,1}

D.{-1,0,1}

真题探源 本题取材于教材P143例1,主要考查函数的零点的个数、函数的性质及函数的图像等知识点,意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想、数形结合思想,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养.

思路点拨 （1）函数的零点个数即,图像的交点个数.在同一平面直角坐标系中分别画和函数的图像,如图所示,其中函数的图像可由的图像变换得到.由图可知,函数,的图像有2个交点,所以函数的零点个数为2.故选A.

（2）令=0,则当x≤0时,由x+1=0得x=-1；当x>0时,由得x=1.因而所有零点组成的集合为{-1,1}.故选C.

答（1）A（2）C

解题通法

判断函数的零点的个数的方法

（1）解方程法,方程=0的实数根的个数就是函数的零点的个数

（2）借助函数的单调性及函数零点的存在性定理进行判断；

（3）如果函数图像易画出,那么可依据图像与x轴的交点的个数来判断.特别地,对于形如的函数,可通过函数与的图像的交点的个数来判断函数的零点的个数.

题型3 与函数零点（方程的根）有关的参数问题

例1（1）（2017·全国Ⅲ高考已知函数有唯一零点,则a=（    ）.

A.

B.

C.

D.1

（2）（2018·全国l高考）已知函数,.若存在2个零点,则a的取值范围是（    ）.

A.[-1,0）

B.[0,+∞）

C.[-1,+∞）

D.[1,+∞）

真题探源 本题主要考查分段函数的零点,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

思路点拨 （1）,

令t=x-1,则.∵,函数为偶函数.∵有唯一零点, 也有唯一零点.又为偶函数,由偶函数的性质知,解.故选C.

（2）函数存在2个零点,即关于x的方程有2个不同的实根,即函数的图像与直线有2个交点,作出直线与函数的图像,如图所示.故-a≤1,∴a≥-1.

答（1）C（2）C

解题通法

根据函数零点个数或所在区间求参数的方法

已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数的取值范围.

（2）分离参数法；先将参数分离,然后转化成求函数值域问题加以解决.

（3）数形结合法：先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,然后利用数形结合思想求解.

题型4 二分法的应用

例4（浙江杭州学业水平测试）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算所得参考数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ）.

A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.5

真题探源 教材在P145讲解了二分法的相关概念后,在P146例2中用表格的形式求出了一系列函数值,然后由表中的相关数据确定方程的近似解所在的区间,进而由精确度确定近似解,与本题是同类型的问题.

思路点拨 ∵,且,方程的一个近似根位于区间（1.4375,1.40625）内.

又∵1.4375,1.40625精确到0.1的近似值均为1.4,

∴方程的一个近似解为1.4,故选C.

答（1）C

答题模板

利用二分法求方程近似解的步骤

（1）构造函数,利用图像确定方程的根所在的大致区间通常限制在区间（n,n+1）上,n∈Z；

（2）利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M

（3）区间M内的任意实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.

题型5 指数函数、对数函数模型的应用

例5（2018·温州二中高一检测）某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表：

注：地震强度是指地震时释放的能量.

地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y=（其中a,b为常数,a≠0）来表示.利用散点图可知a的值约为    .（取进行计算）

真题探源 本题取材于教材P152例6,主要考查对数运算以及分析、解决实际问题的能力,考查数学建模和数学运算的学科核心素养.

思路点拨 由表中数据作出散点图,如图

由记录的部分数据可知

当时,y=5.0；当时,y=5.2,

所以②-①得.所以.

答

答题模板

解函数模型不定的应用题的步骤

（1）作图：根据已知数据画出散点图.

（2）选择函数模型：一般是根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似图像特征,找几个比较接近的函数模型尝试.

（3）求出函数模型：求出（2）中找到的几个函数模型的解析式.

（4）检验：将（3）中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最合适的函数模型.

（5）利用所求出的函数模型解决问题.