人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用(二)当堂达标检测题
展开第四章指数函数与对数函数
4.5函数的应用(二)
例1求方程的实数解的个数.
分析:可以先借助计算工具画出函数的图象或列出x,y的对应值表,为观察、判断零点所在区间提供帮助.
解:设函数,利用计算工具,列出函数的对应值表(表),并画出图象(图).
表4.5-1
x
y
1
-4
2
-1.3069
3
1.0986
4
3.3863
5
5.6094
6
7.7918
7
9.9459
8
12.0794
9
14.1972
由表和图可知,,,则.由函数零点存在定理可知,函数在区间内至少有一个零点.
容易证明,函数,是增函数,所以它只有一个零点,即相应方程只有一个实数解.
例2借助信息技术,用二分法求方程的近似解(精确度为0.1).
解:原方程即,令,用信息技术画出函数的图象(图4.5-4),并列出它的对应值表(表).
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
观察图或表,可知,说明该函数在区间内存在零点.
取区间的中点,用信息技术算得.因为,所以.
再取区间的中点,用信息技术算得.因为,所以.
同理可得,,.
由于,
所以,原方程近似解可取为1.375.
例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型,其中t表示经过的时间,表示时的人口数,r表示人口的年平均增长率.
表是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人口数/万
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
(2)如果按表的增长趋势,那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿?
分析:用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型,就是要确定其中的初始量和年平均增长率r.
解:(1)设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为,,…,.由,
可得1951年的人口增长率.
同理可得,,,,,,,,.
于是,1951~1959年期间,我国人口年平均增长率为.
令,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为,.
根据表4.5-4中的数据画出散点图,并画出函数()的图象(图4.5-6).
由图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
(2)将代入,
由计算工具得.
所以,如果按表4.5-4的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.
例42010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的?
分析:因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减,属于指数衰减,所以应选择函数(,且;,且)建立数学模型.
解:设样本中碳14的初始量为k,衰减率为p(),经过x年后,残余量为y.根据问题的实际意义,可选择如下模型:
(,且;;).
由碳14的半衰期为5730年,得.
于是,
所以.
由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知,,
即.
解得.
由计算工具得.
因为2010年之前的4912年是公元前2902年,所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的.
例5假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
分析:我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提供依据.
解:设第x天所得回报是y元,则方案一可以用函数()进行描述;方案二可以用函数()进行描述;方案三可以用函数()进行描述.三个模型中,第一个是常数函数,后两个都是增函数.要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析.
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(表).
x
方案一
方案二
方案三
y
增加量/元
y
增加量/元
y
增加量/元
1
40
10
0.4
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
9
40
0
90
10
102.4
51.2
10
40
0
100
10
204.8
102.4
…
…
…
…
…
…
…
30
40
0
300
10
214748364.8
107374182.4
再画出三个函数的图象(图)
由表和图可知,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函数,但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到,尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍,但它们的增长量固定不变,而方案三是“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其他两个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一和方案二一样多,方案三最少;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元
下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下(表).
方案
天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
因此,投资1~6天,应选择方案一;投资7天,应选择方案一或方案二;投资8~10天,应选择方案二;投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.
例6某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:,,,其中哪个模型能符合公司的要求?
分析:本例提供了三个不同增长方式的奖励模型,按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元,所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润.于是,只需在区间上,寻找并验证所选函数是否满足两条要求:第一,奖金总数不超过5万元,即最大值不大于5;第二,奖金不超过利润的25%,即.
不妨先画出函数图象,通过观察函数图象,得到初步的结论,再通过具体计算,确认结果.
解:借助信息技术画出函数,,,的图象(图).观察图象发现,在区间上,模型,的图象都有一部分在直线的上方,只有模型的图象始终在的下方,这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求.
下面通过计算确认上述判断.
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型,它在区间上单调递增,而且当时,,因此,当时,,所以该模型不符合要求;
对于模型,由函数图象,并利用信息技术,可知在区间内有一个点满足,由于它在区间上单调递增,因此当时,,所以该模型也不符合要求;
对于模型,它在区间上单调递增,而且当时,,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当时,是否有,即成立.
令,,利用信息技术画出它的图象(图).
由图象可知函数在区间上单调递减,因此,
即.
所以,当时,,说明按模型奖励,奖金不会超过利润的25%.
综上所述,模型确实能符合公司要求.
4.5.1函数的零点与方程的解
练习
1. 图(1)(2)(3)分别为函数在三个不同范围的图象.能否仅根据其中一个图象,得出函数在某个区间只有一个零点的判断?为什么?
(1)(2)(3)
【答案】不能,理由见解析
【解析】
【分析】
根据零点存在性定理只能判断存在零点,但零点个数需要借助函数的单调性进行判断,由此可判断结果.
【详解】解:不能,如仅依据图(1)易得出在(-200,200)内仅有一个零点的错误结论,
要证明函数在某区间上只有一个零点,除证明该函数在区间端点的函数值异号外,
还需证明该函数在该区间上是单调的.
【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用,需掌握零点存在性定理只能判断是否有零点,不能判断零点个数,属于基础题.
2. 利用计算工具画出函数的图象,并指出下列函数零点所在的大致区间:
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)图像见解析,;
(2)图像见解析,;
(3)图像见解析,;
(4)图像见解析,(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点;
【解析】
【分析】
作出各个函数的图像,利用零点存在性定理即可判断函数的零点所在的区间.
【详解】作出函数图象(如图).
因为,,
所以在区间(1,1.5)上有一个零点.
又因为是上的减函数.
所以在上有且仅有一个零点.
作出函数图象(如图),
因为,,
所以在区间(3,4)上有一个零点,
又因为在上是增函数,
所以在上有且仅有一个零点
作出函数图象(如图),
因为,,
所以在区间(0,1)上有一个零点.
又因为在上是增函数,
所以在上有且仅有一个零点.
(4)作出函数图象(如图).
因为,,,,,
所以在(4,3),(3,2),(2,3)上各有一个零点.
【点睛】本题考查了零点存在性定理,需熟记定理的内容,属于基础题.
4.5.2用二分法求方程的近似解
练习
3. 借助信息技术,用二分法求函数在区间(0,1)内零点的近似值(精确度为0.1)
【答案】0.625.
【解析】
【分析】
利用计算机软件画出函数图象,可判断函数在区间内有一个零点,再用二分法依次计算,直到求出想要的精度为止.
【详解】解:利用计算机软件画出函数图象如图所示:
由题设可知,,
于是.又因为函数在内单调递增,
所以函数在区间内有一个零点.
下面用二分法求函数在区间内的零点
取区间的中点,用计算器可算得.
因为,所以.
再取区间的中点,用计算器可算得.
因为,所以.
同理可得,.
由于,所以原方程的近似解可取为.
【点睛】本题考查二分法求方程的近似解,关键是信息技术的应用,属于基础题.
4. 借助信息技术,用二分法求方程在区间(2,3)内的近似解(精确度为0.1).
【答案】2.5625.
【解析】
【分析】
原方程即,令,再用二分法依次计算,直到求出想要的精度为止.
【详解】解:原方程即,令,
函数图象如图所示:
用计算器可算得
,,于是,
又因为函数在内单调递增,所以这个方程在区间内有一个解.
下面用二分法求方程在区间的近似解.
取区间的中点,用计算可算得.
因为,所以.
再取区间的中点,用计算器可算得
因为,所以.
同理可得,.
由于.
所以原方程的近似解可取为.
【点睛】本题考查二分法求方程的近似解,关键是信息技术的应用,属于基础题.
4.5.3函数模型的应用
练习
5. 已知1650年世界人口为5亿,当时人口的年增长率为0.3%;1970年世界人口为36亿,当时人口的年增长率为2.1%.
(1)用马尔萨斯人口模型计算,什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世界人口是1970年的2倍?
(2)实际上,1850年以前世界人口就超过了10亿;而2004年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法?
【答案】(1)1881年世界人口是1650年的2倍,2003年世界人口是1970年的2倍;
(2)指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况.
【解析】
【分析】(1)设1650年后年,人口是1650年的2倍,即有;设1970年后年,人口是1970年的2倍,即有,两边取对数,计算即可得到所求值;
(2)由题意可得此指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况.
【详解】解:(1)设1650年后年,人口是1650年的2倍,
即有,
两边取常用对数,可得,
即有;
设1970年后年,人口是1970年的2倍,
即有,
两边取常用对数,可得,
即有.
则有1881年世界人口是1650年的2倍,2003年世界人口是1970年的2倍;
(2)实际上,1850年以前世界人口就超过了10亿;
而2003年世界人口还没有达到72亿.
由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.
6. 在一段时间内,某地的野兔快速繁殖,野兔总只数的倍增期为21个月,那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年?
【答案】大约需要23年.
【解析】
【分析】
设经过年后的1万只野兔有只,根据倍增期为21个月可得,令可得所求的年数.
【详解】设经过年后的野兔有只,由题意知,
,令,即,则.
两边取常用对数得,.
所以大约需要23年.
【点睛】本题考查指数函数在实际中的应用,注意根据倍增期来计算函数模型中的参数,本题属于基础题.
7. 1959年,考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群,从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的,能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的?(碳14的半衰期为5730年)
【答案】大概是公元前1892年的.
【解析】
【分析】
设这批古建筑群距今已t年,初始量为,则现存量,由可求时间.
【详解】设这批古建筑群距今已t年,初始量为,则现存量,
由题设得,所以,
.
而.
所以大概是公元前1892年的.
【点睛】本题考查指数函数模型在实际中的应用,注意利用半衰期求函数关系式,本题属于容易题.
练习
8. 某地今年1月,2月,3月患某种传染病的人数分别为52,61,68为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型,乙选择了模型,其中为患病人数,为月份数,都是常数。结果4月,5月,6月份的患病人数分别为74,78,83,你认为谁选择的模型更符合实际?
【答案】采用模型与实际人数误差更小,乙选择的模型更符合实际.
【解析】
【分析】
根据各月对应的患病人数算出函数解析式,再预测4月,5月,6月份的患病人数,与实际数比较后根据误差的大小决定更优模型.
【详解】若按模型,将代入
得解得,所以.
若按模型,将代入,
解得所以.
模型比较:
4
5
6
73
76
77
73.4
77.7
81
实际人数
74
78
83
比较发现,采用模型与实际人数误差更小,乙选择的模型更符合实际.
【点睛】本题考查二次函数、指数型函数在实际中的应用,注意较优函数的选择要依据误差的大小来考虑,本题属于中档题.
9. 由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模,某地的肉鸡产量在不断增加,2008-2018年的11年,上市的肉鸡数量如下:
时间/年
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
肉鸡数量/吨
7690
7850
8000
8150
8310
8460
8620
870
8920
9080
9230
同期该地的人口数如下:
时间/年
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
人口数/万
100.0
101.2
102.4
103.6
104.9
106.1
107.4
108.7
110.
111.3
112.7
(1)分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数;
(2)如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求,那么2018年是否能满足市场的需求?
(3)按上述两表的变化趋势,你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议?
【答案】(1),; (2)2018年能满足市场的需求; (3)保持现状即可.
【解析】
【分析】
(1)画出两组数据对应的散点图,根据散点图可选择一次函数来拟合,用待定系数法可求函数的解析式.
(2)计算出2017年人均消费的肉鸡数量和2018人均费的肉鸡数量后比较它们的大小后可得正确的结论.
(3)因2017、2018人均消费的肉鸡数量基本保持平衡,故保持现状即可.
【详解】(1)取自变量x为0,1,2,…,10,…,对应年份为2008,2009,2010,2018,…,肉鸡数量为,人口万,依据表画出与,与的对应点的散点图,如图1、图2.
由图1、图2知,与x,与x均大数为线性关系.
设,将代入,
得,解得,所以.
将代入,得,解得,
所以.
(2)2017年人均消费肉鸡,
2018年人均消费肉鸡,所以2018年能满足市场的需求.
(3)保持现状即可.
【点睛】本题考查一次函数在实际中的应用,此题最后一问为开放性问题,可从不同角度分析(如从人均消费的肉鸡数量或从健康的角度减少人均消费的肉鸡数量)均可,它考查了学生的数学建模的数学素养,本题属于中档题.
习题4.5
复习巩固
10. 下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是______.(填写上所有符合条件的图号)
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据二分法所求零点的特点,结合图象可确定结果.
【详解】用二分法只能求“变号零点”,①③中的函数零点不是“变号零点”,故不能用二分法求
故答案为:①③
【点睛】本题考查二分法的应用问题,关键是明确二分法只能用来求“变号零点”,属于基础题.
11. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
y
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
函数在哪几个区间内一定有零点?为什么?
【答案】在区间内有零点,理由见解析
【解析】
【分析】
根据零点存在定理可确定结果.
【详解】由对应值表可得:,,
由零点存在定理可知:分别在区间,,内有零点
【点睛】本题考查零点存在定理的应用,属于基础题.
12. 已知函数,求证:方程在内至少有两个实数解.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
令,由零点存在定理可确定在内至少有两个零点,由此可得结论.
【详解】由得:
令
则,,
,
在内至少有一个零点,在内至少有一个零点
在内至少有两个零点,即方程在内至少有两个实数解
【点睛】本题考查利用零点存在定理确定方程在给定区间内解的个数的问题,关键是能够将问题转化为函数在区间内的零点个数的问题,利用零点存在定理来进行求解.
13. 利用信息技术,用二分法求函数的零点(精确度为0.1).
【答案】2.375
【解析】
【分析】
由零点存在定理可确定零点所在区间为,根据二分法的原理来不断确定零点所在区间,直到满足精确度为止,从而得到结果.
【详解】,
在区间内存在一个零点
下面用二分法求函数在区间内的零点
取区间的中点,用计算器可算得
,所以
再取的中点,用计算器可算得
因为
同理可得:,
函数的零点为
【点睛】本题考查利用二分法求解函数的零点问题,关键是能够利用零点存在定理确定零点所在区间,再根据二分法原理来进行求解.
14. 利用信息技术,用二分法求方程的近似解(精确度为0.1).
【答案】0.8125
【解析】
【分析】
将方程化为,可令,根据零点存在定理确定方程在区间内有解;利用二分法不断确定方程解所在区间,直到满足精确度为止.
【详解】原方程可化为:,令
用计算器算得,
这个方程在区间内有解
下面用二分法求方程在区间内的近似解
取区间的中点,用计算器可算得
再取的中点,用计算器可算得
因为
同理可得:
原方程的近似解可取为
【点睛】本题考查利用二分法求解方程的解的问题,关键是能够利用零点存在定理确定零点所在区间,再根据二分法原理来进行求解.
15. 一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存2KB,然后每3分自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍.那么开机后多少分,该病毒会占据64MB内存()?
【答案】分钟
【解析】
【分析】每过一个3分钟,所占内存是原来的2倍,故个3分钟后,所占内存是原来的倍,再利用指数的运算性质可解
【详解】解:因为开机时占据内存,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,
所以3分钟后占据内存,两个3分钟后占据内存,三个3分钟后占据内存,
故个3分钟后,所占内存是原来的倍,
则应有,,,
故45分钟后该病毒会占据64MB内存;
综合运用
16. 设函数,且,求证:函数在内至少有一个零点.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由可得到,由此化简得到,确定,可知与中至少有一个为正;利用零点存在定理可证得结论.
【详解】
又
与中至少有一个为正
又 或
∴函数在内至少有一个零点
【点睛】本题考查零点存在定理的应用,关键是能够通过确定区间端点处的函数值的正负,从而利用零点存在定理确定是否存在零点.
17. 已知函数.
(1)求函数的解析式;
(2)利用信息技术,画出函数的图象;
(3)求函数的零点(精确度为0.1)
【答案】(1);(2)图见解析;(3)-2.75或-0.25
【解析】
【分析】
(1)将代入整理即可得到结果;
(2)利用计算机可画出函数图象;
(3)根据图象确定零点所在区间,由二分法原理不断确定零点位置,直到满足精确度为止.
【详解】(1)由题意得:
(2)函数图象如下图所示:
(3)由图象可知,函数分别在区间和区间内各有一个零点
取区间的中点,用计算器可算得
再取的中点,用计算器可算得
同理可得:,
因为
原方程在区间内的近似解可取为
同理可求得函数在区间内的零点可取为
函数满足精确度的零点为或
【点睛】本题考查函数解析式和函数图象、二分法求解函数零点的问题;关键是能够通过函数图象确定函数零点所在区间,进而通过二分法原理确定结果.
18. 如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:)与时间1(单位:月)的关系为.关于下列说法:
①浮萍每月的增长率为1;
②第5个月时,浮萍面积就会超过;
③浮萍每月增加的面积都相等;
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是,则,其中正确的说法是( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
由图象过可求得函数解析式为;由知①正确;由知②正确;验算可知,知③错误;利用对数运算可证得,知④正确.
【详解】图象过点 ,即
每月的增长率为,①正确;
当时,,②正确;
第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加,③错误;
,, ,,
,④正确.
故选:
【点睛】本题考查利用给定函数模型求解实际问题;关键是能够通过函数图象所经过点确定函数的解析式,涉及到指数和对数运算的问题,考查了函数的实际应用.
19. 一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效,而低于时病人就有危险,现给某病人的静脉注射了这种药,果药在血液中以每小时20%的比例衰减,那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药(精确到0.1h)?
【答案】应该在用药小时后,小时以前补充药
【解析】
【分析】
根据题意建立起含药量与注射后的时间的函数关系式,从而构造不等式,解不等式求得的范围,从而得到结论.
【详解】血液中含药量与注射后的时间的关系式为:,
则由得:
故应该在用药小时后,小时以前补充药
【点睛】本题考查建立拟合的函数模型求解实际问题,关键是能够通过已知关系建立起合适的函数模型,进而通过模型来构造不等式.
20. 人类已进入大数据时代.目前,数据量已经从升到乃至级别,国际数据公司(IDC)的研究结果表明,2008年全球产生的数据量为0.49 ZB,2009年的数据量为0.8 ZB,2010年增长到1.2 ZB,2011年的数量更是高达1.82 ZB,而到了2020年,预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44倍,为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x(单位:年)的关系,根据上述数据信息,从函数和中选择一个,并求出解析式.
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可列出数据表,由数据表画出散点图,从而确定所选函数模型;代入两点坐标构造方程可求得参数,进而得到所求结果.
【详解】设年分别对应第年,第年,第年,第年,,第年,由已知列表如下:
画出散点图如下:
由散点图知,个点在一条曲线上,应选择函数
将数据代入得:,解得:
【点睛】本题考查函数模型的求解问题,关键是能够通过散点图确定所选的函数模型,进而代入已知点构造方程求得函数解析式.
21. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.
身高/
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表格提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系?试写出这个函数模型的关系式.
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为,体重为的在校男生的体重是否正常?
【答案】(1);(2)这个男生偏胖.
【解析】
【分析】
(1)画出散点图,考虑作为函数模型,代入数据计算得到答案.
(2)根据函数解析式,代入数据得到,计算得到答案.
【详解】(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图,
根据点的分布特征,可考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
取其中的两组数据,,代入得:
用计算器算得,.
这样,我们就得到一个函数模型:.
将已知数据代入上述函数关系式,或作出上述函数的图像,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)将代入,得,由计算器算得.
由于,所以,这个男生偏胖.
【点睛】本题考查了指数函数模型的应用,意在考查学生的应用能力和计算能力.
拓广探索
22. 有一道题“若函数在区间内恰有一个零点,求实数a的取值范围",某同学给出了如下解答:由,解得.所以,实数a的取值范围是.上述解答正确吗?若不正确,请说明理由,并给出正确的解答.
【答案】不正确,理由见解析
【解析】
【分析】
当零点不是“变号零点”时,无法用零点存在定理来确定,由此可知原解法有错误;当时,函数为一次函数,解得零点后可知满足题意;当时,函数为二次函数,分别在和两种情况下,求得恰有一个零点时的值,进而得到结果.
【详解】上述解答不正确,原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题,即没有分类讨论和两种情况;而时,在区间内的零点可能不是“变号零点”
正确解答如下:
(1)当时,
令得:,解得:
∴当时,在内恰有一个零点.
(2)当时,
①若,即,则函数的图象与轴交于点
是内的唯一零点
②若,即
则i.,解得:
ii.当,即时,,解得:,
是内的唯一零点
iii.当时,即时,,解得:,
是内的唯一零点
综上可得,的取值范围是
【点睛】本题考查根据函数在区间内的零点个数求解参数范围问题,重点考查了二次函数根的分布问题;易错点是忽略在区间内的零点不是“变号零点”的情况,即的情况,造成求解错误.
23. 从甲地到乙地的距离约为,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量(单位:)与速度(单位:)()的下列数据:
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,现有以下三种模型供选择:.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并写出相应的函数解析式;
(2)从甲地到乙地,这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少?
【答案】(1);(2)的速度
【解析】
【分析】
(1)根据表中数据画出散点图,根据散点图可确定所选模型;代入三个已知点的坐标,构成方程组,解方程组即可求得结果;
(2)构造总耗油量与行驶速度的函数关系式,得到一个二次函数的形式,利用二次函数的性质可求得结果.
【详解】(1)画出散点图如图
由图知应选择函数
将代入函数解析式得:
,解得:
(2)从甲地到乙地共需小时,设总耗油量为
则
当时,y取最小值
从甲地到乙地,这辆车应以的速度行驶才能使总耗油量最少
【点睛】本题考查了函数模型的应用问题,涉及到选取函数模型、函数模型的求解、利用函数模型求解最值的问题等知识.
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人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课时作业: 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课时作业,共11页。试卷主要包含了7 三角函数的应用等内容,欢迎下载使用。