高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时课时训练

二十六　函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

【基础全面练】　(15分钟·35分)

1.设函数f(x)＝，g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是(　　)

A．1　　　B．±　　　C．1，－　　　D．1，5

【解析】选C.当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x－2，令g(x)＝0，得x＝1；当x<0时，g(x)＝x2－4－1＝x2－5，令g(x)＝0得x＝±，正值舍去，所以x＝－.所以g(x)的零点为1，－.

2．y＝f(x)的大体图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为(　　)

A.4    B．5    C．6    D．7

【解析】选D.把y＝f(x)图像x轴左侧部分去掉，右侧部分图像对称过去，就得到了y＝f(|x|)的图像．因为y＝f(x)在x轴右侧图像与x轴有3个交点，所以函数y＝f(|x|)的图像在x轴左侧与x轴也有3个交点，加上原点，函数y＝f(|x|)共有7个零点．

3．函数y＝的定义域是(　　)

A．{x|x<－4或x>3}    B．{x|－4<x<3}

C．{x|x≤－4或x≥3}    D．{x|－4≤x≤3}

【解析】选C.要使y＝有意义，

则x2＋x－12≥0，

所以(x＋4)(x－3)≥0，所以x≤－4或x≥3.

4．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x||x|<2}，则(　　)

A．M∩N＝∅    B．M∩N＝M

C．M∪N＝M    D．M∪N＝R

【解析】选B.因为M＝{x|0<x<1}，

N＝{x|－2<x<2}，所以M⊂N，即M∩N＝M.

5．观察下图函数y＝f(x)的图像，填空：

当x∈________________________时，f(x)＝0；

当x∈________________________时，f(x)>0；

当x∈________________________时，f(x)<0.

【解析】根据图像知f(x)＝0的解集是：

.

f(x)>0的解集是∪(3，＋∞)，

f(x)<0的解集是∪(1，3).

答案：　∪(3，＋∞)

∪(1，3)

6．(2021·吴江高一检测)若不等式(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1，3).

(1)求实数a，b的值；

(2)解不等式4ax2－4x－b<0.

【解析】(1)由题意得a<0，且对应方程(ax－1)(x＋b)＝0的解为－1和3，

所以＝－1，－b＝3，所以a＝－1，b＝－3.

(2)不等式4ax2－4x－b<0，即－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，

解得x>或x<－.

【补偿训练】

设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.

(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集．

(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．

【解析】(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，

因此所求解集为(－∞，0)∪.

(2)不等式f(x)＋1>0，

即(m＋1)x2－mx＋m>0，

由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，

因此⇒m＝－.

【综合突破练】　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为(　　)

A．

B．

C．

D．

【解析】选A.因为6x2＋x－2＝0的解为x1＝－，x2＝，令y＝6x2＋x－2，则抛物线开口向上，所以原不等式的解集为.

2．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是(　　)

A.[－1，1)

B．(－3，1]

C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)

D．(－3，－1)

【解析】选D.M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x≤1}，M∩(UN)＝{x|－3<x<－1}．

3．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　)

A．{x|－1≤x<0}    B．{x|0<x≤1}

C．{x|0≤x<2}    D．{x|0≤x≤1}

【解析】选B.因为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，所以A∩B＝{x|0<x≤1}．

4．已知函数f＝则函数y＝f＋3x的零点个数是(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

【解析】选C.根据题意，当x≤0时，令x2－2x＋3x＝0，解得x1＝0, x2＝－1，符合题意，

当x＞0时，令1＋＋3x＝0，无解，故只有两个零点．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列各选项中能使不等式<0成立的是(　　)

A．{x|－1<x<2}    B．{x|1<x<3}

C．{x|2<x<3}    D．{x|3<x<4}

【解析】选AC.原不等式⇔(x－2)2(x＋1)(x－3)<0，

所以－1<x<3且x≠2.

【补偿训练】

(多选题)若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a可取的值是(　　)

A．0    B．5    C．4    D．－1

【解析】选AC.当a＝0时，符合题意．

当a>0时，相应的二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，解得0<a≤4，综上，a的取值范围是{a|0≤a≤4}．

6．已知函数f＝，则函数g＝f－2的零点是(　　)

A．    B．    C．－    D．2

【解析】选AB.由题意得，

令函数g＝f－2＝0，即f＝2，

当x≤1时，令3－2x＝2，解得x＝；

当x>1时，令x2＝2，

解得x＝或x＝－(舍去)，

所以函数g的零点为，.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．(2021·福州高一检测)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________．

【解析】因为f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0，

所以f(－1)＝－f(1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数．

因为＝2·<0，

即或

解得x∈(－1，0)∪(0，1).

答案：(－1，0)∪(0，1)

8．不等式组的解集为________．　

【解析】由

得

所以0<x<1.

答案：{x|0<x<1}

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．解下列不等式：

(1)－2x2＋3x－2<0.(2)－x2＋7x>6.

(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).

【解析】(1)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，

因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，

所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，

又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，

所以原不等式的解集为R.

(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.

解方程x2－7x＋6＝0，得x1＝1，x2＝6.

结合二次函数y＝x2－7x＋6的图像知，原不等式的解集为{x|1<x<6}.

(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2，

所以原不等式等价于9x2－12x＋4>0.

解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.

结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，原不等式的解集为.

10．(2021·晋中高一检测)求下列不等式的解集：

(1)－x2＋4x－3>(x－1)2；

(2)(x－a)[x－(1－a)]<0(a>0).

【解析】(1)－x2＋4x－3>(x－1)2，化简得－x2＋4x－3>x2－2x＋1⇒－2x2＋6x－4>0⇒x2－3x＋2<0⇒<0，

解得{x∣1<x<2}．

(2)对于(x－a)[x－(1－a)]<0(a>0)，当0<a<时，解集为；

当a>时，

解集为{x∣1－a<x<a}；

当a＝时，解集为∅.

综上所述，当0<a<时，

解集为；当a>时，

解集为{x∣1－a<x<a}；

当a＝时，解集为∅.

【应用创新练】

1．已知函数f＝x2－mx＋a－m对任意的实数m恒有零点，则实数a的取值范围是________．

【解析】由题意得f＝x2－mx＋a－m＝2＋a－m－，

因为函数对任意的实数m恒有零点，

所以a－m－≤0对任意的实数m恒成立，

即a≤＋m对任意的实数m恒成立．

又＋m＝2－1≥－1，

所以a≤－1.

所以实数a的取值范围是.

答案：

2．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．

【解析】原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，由x＝0是不等式的一个解得(a＋1)(2a－3)>0，

解得a<－1或a>.

所以实数a的取值范围是.

若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5＞0，

所以3－2a>，

此时不等式的解集是；

若a>，则－2a＋3－＝(－a＋1)<－＜0，

所以3－2a<，

此时不等式的解集是.

综上，当a<－1时，原不等式的解集为；当a>时，原不等式的解集为.

【补偿训练】

已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．

【解析】当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0，5).又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5，5)，所以－5<x＋2<5，故所求解集为(－7，3).

答案：(－7，3)