人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性第1课时课后作业题

二十二　函数的单调性

【基础全面练】(15分钟·35分)

1.(2021·无锡高一检测)下列函数在上是增函数的是(　　)

A．y＝    B．y＝|x|

C．y＝－x2    D．y＝－2x＋1

【解析】选B.对于A，函数y＝在上单调递减，故A错误；

对于B，函数y＝|x|＝在上单调递增，故B正确；

对于C，函数y＝－x2在上单调递减，故C错误；

对于D，函数y＝－2x＋1在上单调递减，故D错误．

2．(2021·大冶高一检测)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选A.因为y＝f(x)在R上为增函数，

且f(2m)>f(m＋9)，所以2m>m＋9，解得m>9.

3．可推得函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是(　　)

A．a＝0   B．

C．    D．

【解析】选B.因为函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上，开口向上，对称轴x＝－＝，

要使f(x)在区间[1，2]上为增函数，则

若a＜0，图像开口向下，要求＞2，显然不可能，

所以函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是

4．(2021·北京高一检测)函数f(x)＝x2＋ax－1在上不单调，则实数a的取值范围为________．

【解析】可得f的对称轴为x＝－，

因为f在上不单调，则2<－<3，

解得－6<a<－4.

答案：

【补偿训练】

 已知f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．

B．

C．

D．∪

【解析】选B.当x≥1时，函数f(x)＝－x＋1为减函数，此时函数的最大值为f(1)＝0，

要使f(x)在R上是减函数，

则满足即

即≤a＜.

5．(2021·苏州高一检测)函数f(x)＝的单调递减区间为________．

【解析】16＋6x－x2≥0，解得－2≤x≤8，所以函数的定义域为，

令y＝16＋6x－x2＝－x2＋6x＋16＝－(x－3)2＋25，二次函数图像开口向下，对称轴为x＝3，

由y＝为增函数，得函数f(x)＝的单调递减区间为.

答案：

6．已知函数f(x)＝ax＋(a，b是常数)，满足f(1)＝3，f(2)＝.

(1)求a，b的值．

(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并用定义证明．

【解析】(1)因为f(1)＝3，f(2)＝，

所以解得：

故a＝2，b＝1.

(2)由(1)得f(x)＝2x＋，任取x1，x2∈且x1<x2，则x1－x2<0，

那么f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－

＝(x1－x2)，

因为0＜x1＜x2＜，所以x1x2＜，2－＜0，又x1－x2<0，

故f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)>f(x2)，

故f(x)在上递减．

【综合突破练】　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(　　)

A．f(a)＞f(2a)     B．f(a2)＜f(a)

C．f(a2＋a)＜f(a)    D．f(a2＋1)＜f(a)

【解析】选D.因为a2＋1－a＝＋＞0，所以a2＋1＞a，又因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2＋1)＜f(a).

2．(2021·南宁高一检测)已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是(　　)

A．递增区间是(0，＋∞)

B．递减区间是(－∞，－1)

C．递增区间是(－∞，－1)

D．递增区间是(－1，1)

【解析】选D.因为函数f(x)＝－x|x|＋2x＝，作出函数f(x)的图像，如图所示，

由图可知，递增区间是(－1，1)，递减区间是(－∞，－1)和.

3．定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有(x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＞0，则有(　　)

A．f(－2)＜f(1)＜f(3)

B．f(1)＜f(－2)＜f(3)

C．f(3)＜f(－2)＜f(1)

D．f(3)＜f(1)＜f(－2)

【解析】选A.因为对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＞0，

当x1<x2时，x1－x2<0，则f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)；

当x1>x2时，x1－x2>0，则f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是在R上的增函数，所以f(－2)＜f(1)＜f(3).

4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(－1，0)∪(0，1)    B．[－1，0)∪(0，1]

C．(0，1)        D．(0，1]

【解析】选D.因为g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图像开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以a≤1.

故满足题意的a的取值范围是(0，1].

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列四个函数中，在(－∞，0]上为减函数的是(　　)

A．f(x)＝x2－2x    B．f(x)＝2x2

C．f(x)＝x＋1    D．f(x)＝

【解析】选AB.在A中，f(x)＝x2－2x的减区间为(－∞，1]，故A正确；在B中，f(x)＝2x2的减区间为(－∞，0]，故B正确；在C中，f(x)＝x＋1在R上是增函数，故C错误；在D中，f(x)＝中，x≠0，故D错误．

6．关于函数y＝的单调区间以下说法正确的为(　　)

A．单调递减区间为(－∞，－3]

B．单调递减区间为(－∞，－1]

C．单调递增区间为[1，＋∞)

D．单调递增区间为(－3，－1]

【解析】选AC.该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．(2021·南昌高一检测)如果二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，那么a的取值范围是________．

【解析】y＝3x2＋2(a－1)x＋b＝3＋b－在区间(－∞，1]上是减函数，

则－≥1，所以a≤－2.

答案：[－∞，－2]

【补偿训练】

 函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为________．

【解析】当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，符合题意；当a≠0时，要使函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则解得0<a≤.

综上所述，0≤a≤.

答案：0≤a≤

8．(2021·郑州高一检测)已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．

【解析】因为f(x)是增函数，

所以解得0≤a≤1.

答案：[0，1]

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知函数f(x)＝

(1)在图中画出函数f(x)的大致图像；

(2)写出函数f(x)的单调递减区间．

【解析】(1)函数f(x)的大致图像如图所示．

(2)由函数f(x)的图像得出，函数的单调递减区间为[2，4].

10．已知函数f(x)＝，且f(1)＝3，f(2)＝.

(1)求a，b的值，写出f(x)的表达式．

(2)判断f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．

【解析】(1)由⇒

⇒则f(x)＝.

(2)任设1≤x1＜x2，f(x1)－f(x2)

＝－＝(x1－x2)·，

因为x1＜x2所以x1－x2＜0，

又因为x1≥1，x2>1，

所以x1x2>1，2x1x2>2>1，即2x1x2－1＞0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

故f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

【应用创新练】

1．已知函数f(x)＝的增区间为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围是________．

【解析】当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，

当－1≤x＜0时，函数f(x)为增函数，

当x≥0时，f(x)为增函数，要使函数在[－1，＋∞)上是增函数，则满足f(0)＝0＋a≥－3，即a≥－3.

答案：[－3，＋∞)

2．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1，当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性，并证明；

(3)解关于x的不等式f(x)＋f(x－2)>－1.

【解析】(1)令x＝y＝1时，f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.

(2)f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递减．

对∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2时，

因为>1，所以f<0，所以f(x2)＝f＝f(x1)＋f，

即f(x2)－f(x1)＝f<0，所以f(x2)<f(x1)，故f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递减．

(3)令x＝3，y＝，则f＝f(3)＋f＝f(1)＝0，

所以f(3)＝－f＝－1，所以f(x)＋f(x－2)＝f[x·(x－2)]>f(3)，

所以解得2<x<3，所以不等式的解集为(2，3).