人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数同步达标检测题

4.4.3 不同函数增长的差异

 基  础  练                                                                               

      巩固新知    夯实基础 

1．下列函数中随x的增大而增大，且速度最快的是(　　)

A.ex             B．y＝10ln x3              C．y＝x10         D．y＝10·2x

2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：

则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a，b为待定系数)(　　)

A．y＝a＋bx        B．y＝a＋bx              C．y＝ax2＋b        D．y＝a＋

3．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1<v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为(　　)

4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)

A．一次函数        B．二次函数          C．指数型函数     D．对数型函数

5．小明2017年用8100元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．

6．某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．

(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；

(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？

能  力  练                                                                                

综合应用   核心素养

7.（多选）某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下选项正确的是（   ）

A.前三年产量增长的速度越来越快

B.前三年产量增长的速度越来越慢

C.第三年后这种产品停止生产

D.第三年后产量保持不变

8．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

9．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是(　　)

A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)

B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系

C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系

D．信件的邮资与其重量间的函数关系

10.如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)

11．1994年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2015年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为(　　)

A．y＝54.8(1＋x%)19     B．y＝54.8(1＋x%)21     C．y＝54.8(x%)19    D．y＝54.8(x%)20

12．进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大日利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．

13．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

【参考答案】

1. A 解析：∵e>2，∴ex比10·2x增大速度快，故选A.

2. B解析：在坐标系中描出各点，可知函数y＝a＋bx更接近．

3. B 解析：∵v1<v2，∴前半段路程用的时间长，选B.

4. D 解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合．故选D.

5. 2400 解析：三年后的价格为8100×××＝2400(元)．

6.解析：(1)设年产量为x(百件)，

当0≤x≤5时，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)；

当x>5时，销售收入为万元，此时f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x

∴f(x)＝

(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－(x－4.75)2＋10.781 25；

当x>5时，函数f(x)为单调递减函数．

∴当年产量为475件时，公司所得利润最大．

7.BC 解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa(0<a<1)．反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以BC正确．

8. D 解析：由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D．

9. B 解析：A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B.

10.D 解析：由题意：P点在BC上时，0≤x＜4，S＝＝2xP点在CD上时，4≤x≤8，S＝＝8

P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x.

11. B 解析：由题意：1995年底人口为54.8(1＋x%)

1996年底人口为54.8(1＋x%)2

1997年底人口为54.8(1＋x%)3

……

∴2015年底人口为54.8(1＋x%)21，故选B.

12. 14 解析：设每个涨价x元，则实际销售价为每个(10＋x)元，日销售量为(100－10x)个，则日利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x≤10)

∴当x＝4，即当日销售价定为每个14元时，日利润最大．

13.解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，

所以这时能租出88辆车．

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

f(x)＝(x－150)－×50＝－x2＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.

∴当x＝4 050时，f(x)max＝307 050.

故月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．