高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试导学案

【例1】　如图所示的三棱锥O­ABC为长方体的一角．其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2, 1 cm2, 3 cm2，求三棱锥O­ABC的体积．

[解]　设OA，OB，OC的长依次为x cm，y cm，z cm，

则由已知可得xy＝1.5，xz＝1，yz＝3.

解得x＝1，y＝3，z＝2.

将三棱锥O­ABC看成以C为顶点，以OAB为底面．

易知OC为三棱锥C­OAB的高．

于是VO­ABC＝VC­OAB＝S△OAB·OC＝×1.5×2＝1(cm3)．

空间几何体的表面积与体积的求法：

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．

1．如图所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC­A′B′C′的体积．

[解]　连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．

设所求体积为V，显然三棱锥A′­ABC的体积是V.

而四棱锥A′­BCC′B′的体积为Sa，

故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.

【例2】　(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为(　　)

A.π　　　B.π　　　C.π　　　D．16π

(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是(　　)

A．96      B．16  C．24   D．48

(1)B　(2)D　[(1)如图，设PE为正四棱锥P­ABCD的高，则正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.

由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，

又底面边长为4, 所以AE＝2， PE＝6, 所以侧棱长PA＝＝＝＝2. 设球的半径为R, 则PF＝2R. 由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝，所以S＝4πR2＝4π×＝，故选B.

(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有·a＝R＝2，解得a＝4.故此三棱柱的体积V＝××(4)2×4＝48.]

与球相关问题的解题策略：

(1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．

(2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相关的元素放到这些关系中来解决．

2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为        ．

4πRr　[法一：如图，作DE⊥BC于点E.设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝，故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.

法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.]

【例3】　如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；

(2)求证：CF⊥平面BDE.

[证明]　(1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，

∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝AC＝1，

∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.

∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，

∴AF∥平面BDE.

(2)连接FO，如图所示．

∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，

∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.

∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.

又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.

又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.

空间平行、垂直关系的转化：

(1)平行、垂直关系的相互转化

(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点

①由已知想性质，由求证想判定．

②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．

③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．

3．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

[证明]　(1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.

又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，

CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1.

又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE.

【例4】　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

(1)AO与A′C′所成角的度数；

(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；

(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．

[解]　(1)∵A′C′∥AC，

∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，

又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.

又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，

sin∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.

(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.

∵平面BC′⊥平面ABCD，

∴OE⊥平面ABCD，

∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．

在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，

∴tan∠OAE＝＝.

(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，

∴OC⊥平面AOB.

又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.

空间角的求法：

求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．

(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．

(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．

(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．

4．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P­BC­A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是        ．

α＜β＜γ　[∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC，∴PC与DE所成的角为∠PCA，即α；∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角为∠PDA，即β；过A作AH⊥BC，垂足为H，连接PH，

易证BC⊥平面PAH，

∴∠PHA是二面角P­BC­A的平面角，即γ. ∵AB≠AC，

∴AD＞AH，又AC＞AD，

∴AC＞AD＞AH，∴＜＜，

∴tan α＜tan β＜tan γ，

∴α＜β＜γ.]