高中数学人教A版必修第一册4.4.1 对数函数的概念课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册4.4.1 对数函数的概念课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P62]
知识点 对数函数的定义
一般地， 函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
[微思考]
函数y＝2lg3x，y＝lg3(2x)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
[对应学生用书P63]
探究一 对数函数的概念
下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝lga x2(a>0，且a≠1)；
②y＝lg2x－1；
③y＝2lg8x；
④y＝lgxa(x>0，且x≠1)；
⑤y＝lg5 x.
解 ①中真数不是自变量x，不是对数函数．
②中对数式后减1，∴不是对数函数．
③中lg8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数．
④中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数．
⑤是对数函数．
[方法总结]
从“三方面”判断一个函数是否是对数函数
[跟踪训练1] 若函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax是对数函数，则a＝________.
解析 由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.
答案 2
探究二 求对数函数的解析式
已知对数函数的图象过点(16,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________.
解析 设对数函数为f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，
由f(16)＝4可知lga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝lg2x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
答案 －1
[方法总结]
确定对数函数解析式的步骤
(1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式y＝lgax(a＞0，且a≠1)．
(2)列：通过已知条件建立关于参数a的方程．
(3)求：求出a的值．
[跟踪训练2] 若某对数函数的图象经过点(4,2)，则该对数函数的解析式为________．
解析 设对数函数的解析式为y＝lgax(a＞0，且a≠1)，
由题意可知lga4＝2，∴a2＝4.∴a＝2.
故该对数函数的解析式为y＝lg2x.
答案 y＝lg2x
探究三 与对数函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域．
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；
(2)y＝lg2(16－4x)．
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,3＋x>0，))得－3∴函数的定义域是{x|－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝lg2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
[变式探究1] 把本例(1)中的函数改为y＝lga(x－3)＋lga(x＋3)，求定义域．
解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3>0，,x＋3>0，))得x>3.
∴函数y＝lga(x－3)＋lga(x＋3)的定义域为{x|x>3}．
[变式探究2] 求函数y＝lga[(x＋3)(x－3)]的定义域．
解 (x＋3)(x－3)>0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3>0，,x－3>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3<0，,x－3<0，))
解得x<－3或x>3.
∴函数y＝lga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}．
[方法总结]
求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
[跟踪训练3] 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)；
(2)f(x)＝lgx＋1(16－4x)．
解 (1)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2>0，,x－3≠0，))
解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))
解得－1所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
[对应学生用书P64]
1．判断一个函数是不是对数函数，关键是看解析式是否符合y＝lgax(a＞0，且a≠1)这一结构形式， 即lgax的系数是1，真数x且系数为1.
2．求含对数式的函数的定义域，注意对数式的基本概念及性质的应用，当对数式有意义时，具备两个条件，即真数大于0，底数大于0且不等于1，当对数的底数不确定时，对数函数的单调性要分类讨论．
课时作业(二十五) 对数函数的概念
[见课时作业(二十五)P167]
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋lg3x
B．y＝lga(2a)(a>0，且a≠1)
C．y＝lgax2(a>0，且a≠1)
D．y＝ln x
D [判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝lgax”的形式．]
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－x))的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1C [由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，则M∩N＝{x|－13．函数f(x)＝lg(x－1)的定义域为________．
解析 因为f(x)＝lg(x－1)，所以x－1>0，得x>1，所以f(x)的定义域为(1，＋∞)．
答案 (1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝lg5x，则f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,3)))＝________.
解析 f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,3)))＝lg53＋lg5eq \f(25,3)＝lg5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(25,3)))
＝lg525＝2.
答案 2
5．已知函数y＝f(x)＝lga(x2－2)，且f(2)＝1.
(1)求a的值；
(2)求f(3eq \r(2))的值．
解 (1)由f(2)＝1，得lga(22－2)＝1，
所以lga2＝1，则a＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝lg2(x2－2)，
所以f(3eq \r(2))＝lg2[(3eq \r(2))2－2]＝lg216＝4.
1．已知函数f(x)＝lga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
B [代入(6,3)，3＝lga(6＋2)＝lga8，即a3＝8，
∴a＝2. ∴f(x)＝lg2(x＋2)，∴f(2)＝lg2(2＋2)＝2.]
2．(多空题)函数f(x)＝(a2－a＋1)lg(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________， f(x)＝________.
解析 由a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，
∴a＝1. ∴f(x)＝lg2x.
答案 1 lg2x
3．已知g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex， x≤0，,ln x， x>0，))则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝________.
解析 ∵eq \f(1,3)>0，∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝lneq \f(1,3)<0.
∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln\f(1,3)))＝elneq \f(1,3)＝eq \f(1,3).
答案 eq \f(1,3)
4．函数y＝eq \r( eq lg\s\d8(\f(1,2)) x－1＋1)的定义域为________．
解析 要使函数有意义，需 eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x－1)＋1≥0且x－1>0，所以 eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x－1)≥－1且x>1，解得1答案 (1,3]
5．(拓广探索)已知f(x)＝lg2(x＋1)，当点(x，y)在函数y＝f(x)的图象上时，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)，\f(y,2)))在函数y＝g(x)的图象上．
(1)写出y＝g(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－g(x)＝0的根．
解 (1)依题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝fx＝lg2x＋1，,\f(y,2)＝g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))，))
则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))＝eq \f(1,2)lg2(x＋1)，故g(x)＝eq \f(1,2)lg2(3x＋1)．
(2)由f(x)－g(x)＝0，得lg2(x＋1)＝eq \f(1,2)lg2(3x＋1)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＞0，,3x＋1＞0，,3x＋1＝x＋12.))解得x＝0或x＝1.
∴方程f(x)－g(x)＝0的根为0或1.
课程标准
核心素养
通过具体实例，了解对数函数的概念.
通过对对数函数概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.