初中数学人教版八年级上册本节综合学案及答案

这是一份初中数学人教版八年级上册本节综合学案及答案，文件包含112与三角形有关的角讲义学生版docx、112与三角形有关的角讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共32页， 欢迎下载使用。

经历探索三角形三个内角的0和是的过程，并能说明期中的道理，体会思考问题的方法。
探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系，并利用三角形内角和等于及有关外角的结论，求角的度数。
初步体会转化的数学思想，并感受数学中的推理论证。
知识点一：三角形的内角定理
（1）定义：三角形内角是三角形三边的夹角;每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于且小于180°.
（2）性质：三角形内角和是180°；
（3）符号语言：中，
（4）主要用在求三角形中角的度数：
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中三个内角的关系，用代数方法求三个角；
③求一个三角形中各角之间的关系.
【例题1】
1.．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
2．若三角形三个内角度数比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【练习】
1.△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A：∠B：∠C=1：2：3，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
2．一个三角形的三内角的度数的比为1：1：2，则此三角形（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形D．等腰直角三角形
知识点二：直角三角形的性质与判定
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号表示，直角三角形可以写成.
有两个内角互余的三角形是直角三角形。
【例题2】
1．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【练习】
1.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C= ．

2．在Rt△ABC中，锐角∠A=35°，则另一个锐角∠B= ．
3．若直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的度数为 ．
4．直角三角形两个锐角度数比是1：2，则两个锐角的度数分别是 、 ．
5．在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B= ．
6．直角三角形的一个锐角为42°，另一个锐角为 ．
知识点三：表示方位的角
方位角是指以南北方向为准，向两边偏的角度大小，即“南偏东”“南偏西”“北偏东”“北偏西”，我们通常把南偏东称为东南方向，北偏西称为西北方向。
【例题3】
如图所示，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C时的视角∠BAC是多少度？

【练习】
1.如图所示，有一艘渔船上午9点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C，在北偏东15°方向上，试求△ABC内角的度数．

知识点四：三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.
三角形外角的特点：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线.
三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°.
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
【例题1】
1．如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（ ）

A．80°B．100°C．120°D．140°
2．一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【练习】
1．在△ABC中，∠A=35°，∠B=72°，则与∠C相邻的外角为 ．
2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．

3．在△ABC中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B相邻的外角的度数为 ．
4．在△ABC中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B相邻的外角的度数为 ．
拓展点一 三角形内角和的定理的应用
【例题】
1．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（ ）

A．20°B．25°C．30°D．35°
2．如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=80°，∠C=33°，那么∠BDE的度数是 113° ．

【练习】
1.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
2．在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（ ）
A．90°B．58°C．54°D．32°
3.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1= ．

4.如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（ ）

A．75°B．50°C．35°D．30°
拓展点二 三角形外角性质的应用
【例题】
1.如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．

2．把一副三角板按如图所示的方式摆放，则两条斜边所成的钝角x为 度．

【练习】
1．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BCD=100°，CE平分∠ACB，则∠A= 度，∠ACE= 度．

拓展点三 三角形内（外）角平分线夹角
【例题】
1.如图，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，若∠A=42°，则∠E= °．

【练习】
1．如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE= ．

2．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）

A．59°B．60°C．56°D．22°
拓展点四 直角三角形的性质与角平分线的综合
【例题】
1．直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角的度数是 ．
【练习】
1．直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（ ）
A．B． C． D．或
拓展点五 利用三角形内角和定理及外角性质解决实际应用题
1．如图△ABC中，∠A：∠B=1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD=75°，则∠D= ．

【练习】
1．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（ ）

A．20°B．25°C．30°D．35°
2．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC的度数为 75° ．
（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为 75° ．