必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词学案

这是一份必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词学案，共5页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。



题型 1全称量词命题与存在量词命题的辨析
【问题探究1】 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)2x＋1是整数；
(2)x能被2和3整除；
(3)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数；
(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
例1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形的两边之和大于第三边；
(4)有些质数是奇数．
题后师说
判断一个语句是全称量词命题
还是存在量词命题的一般步骤
跟踪训练1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，用量词符号“∀”“∃”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于零；
(2)存在一对整数x0，y0，使2x0＋4y0＝3；
(3)存在一个无理数，它的立方是有理数．
题型 2全称量词命题和存在量词命题的真假判断
【问题探究2】 对于【问题探究1】中的(3)(4)，你能判断真假吗？
例2 判断下列命题的真假．
(1)∃x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)∀x∈N，x2>0.
题后师说
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
跟踪训练2 (多选)下列命题中假命题是( )
A．∀x∈Z，x4≥1
＝3
C．∀x∈R，x2－x－1>0
D．∃x0∈N，|x0|≤0
题型 3根据含量词命题的真假求参数的取值范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
一题多变 本例中的条件不变，若命题p改为q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
题后师说
根据含量词命题的真假求参数范围的策略
跟踪训练3 若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围．
随堂练习
1.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
2．下列语句不是存在量词命题的是( )
A．至少有一个x，使x2＋x＋1＝0成立
B．有的无理数的平方不是有理数
C．存在x∈R，3x＋2是偶数
D．梯形有两边平行
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0
B．所有菱形的4条边都相等
C．若2x为偶数，则x∈N
D．π是无理数
4．对每一个x1∈R，x2∈R，且x1课堂小结
1.对全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题概念的理解．
2．含量词的命题的真假的判断．
3．依据含量词命题的真假求参数的范围．
1．5.1 全称量词与存在量词
问题探究1 提示：语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断他们的真假，所以他们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)成为可以判断真假的语句，因此(3)是命题．语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(4)成为可以判断真假的语句，因此(4)是命题．
例1 解析：(1)命题：“存在x，使得x－2≤0”中含有存在量词“存在”，它是存在量词命题；
(2)命题：“矩形的对角线互相垂直平分”省略了全称量词“所有”，它是全称量词命题；
(3)命题：“三角形的两边之和大于第三边”省略了全称量词“所有”，它是全称量词命题；
(4)命题：“有些质数是奇数”中含有存在量词“有些”，它是存在量词命题．
跟踪训练1 解析：(1)全称量词命题，∀x∈N，x2>0.
(2)存在量词命题，∃x0，y0∈Z，2x0＋4y0＝3.
(3)存在量词命题，∃x0∈{无理数∈Q.
问题探究2 提示：(3)中，任意x∈Z，则2x为整数，所以2x＋1是整数，是真命题；(4)是真命题．
例2 解析：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
跟踪训练2 解析：对于A，取x＝0，可知04<1，即A错误；
对于B，由＝3，可得x0＝±，显然±不是有理数，即B错误；
对于C，因为在一元二次不等式x2－x－1>0中，Δ＝2＋4>0，所以该不等式存在解，不是恒成立，比如取x＝0时，不等式不成立，即C错误；
对于D，当x0＝0时，|x0|≤0成立，即D正确．故选ABC.
答案：ABC
例3 解析：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，
所以B⊆A，B≠∅，
所以解得2≤m≤3.
一题多变 解析：q为真，则A
因为B≠∅，所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
跟踪训练3 解析：∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，
则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.
即实数a的取值范围为{a|a≤4}．
[随堂练习]
1．解析：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得：a≤4.
答案：B
2．解析：对于A，至少有一个x，使x2＋x＋1＝0成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；对于C，存在x∈R，3x＋2是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．故选D.
答案：D
3．解析：四个选项中AB是全称量词命题，对于A：∀x∈R，x2＋2x＋1>0，当x＝－1时，不成立，为假命题．对于B：根据菱形定义知：所有菱形的4条边都相等，为真命题．故选B.
答案：B
4．解析：含有全称量词“每一个”，是全称量词命题，令x1＝－1，x2＝0，则，故此命题是假命题．
答案：全称 假