人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案设计，共7页。

学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演．这1 000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二·一班；
(3)每一个学生都有固定表演路线.
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？
知识点1 全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
1.命题“自然数是正整数”是全称量词命题吗？它的量词是什么？
[提示] 是全称量词命题．它的量词是“所有的”(“每一个”等)．即所有的自然数都是正整数．
1.下列命题中是全称量词命题的有________．(填序号)
①任意一个偶数都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°.
[答案] ①③
2.“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“∀”可表示为________．
∀x∈R，x2≥0 [命题“任意一个实数的平方都大于等于0”，用“∀”符号可以表示为∀x∈R，x2≥0.]
知识点2 存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为∃x∈M，p(x)．
2.“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] 是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3.命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词. (填“全称量词”或“存在量词”)
[答案] 有些 存在量词
类型1 全称量词命题与存在量词命题的
识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
[解] (1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0.
(2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
(4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
①②③ ④ [①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．]
类型2 全称量词命题与存在量词命题的真假
【例2】 (对接教材P27例题)判断下列命题的真假．
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)∀x∈N，x2>0.
[解] (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．判断下列命题的真假．
(1)∀x∈R，x2＋1> eq \f(1,2) ；
(2)∃α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2；
(3)存在一个数既是偶数又是负数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[解] (1)真命题，因为x2≥0，
所以x2＋1≥1，x2＋1>eq \f(1,2)恒成立．
(2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数．
(4)假命题，如边长为1的正方形的对角线长为eq \r(2)，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31