初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试单元测试当堂达标检测题

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1．若等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．100°
【答案】D
2．已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是( )
A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm
【答案】D
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a与b相交 D．a⊥b
【答案】C
4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A.eq \r(3)，eq \r(4)，eq \r(5) B．1，eq \r(2)，eq \r(3) C．6，7，8 D．2，3，4
【答案】B
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【解析】：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ACB＝eq \f(1,2)×(180°－30°)＝75°.
∵∠1＝∠A＋∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°－30°＝115°.
∵a∥b，∴∠AED＝∠2＋∠ACB.
∴∠2＝115°－75°＝40°.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是( )
A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BE＝2CD D．CD＝ED
【答案】C
8．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD
【答案】D
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于eq \f(1,2)AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )
A．7 B．14 C．17 D．20
【答案】C
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：
①∠DEF＝∠DFE；
②AE＝AF；
③DA平分∠EDF；
④EF垂直平分AD.
其中结论正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【答案】：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF.∴∠DEF＝∠DFE.∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF.∴AD垂直平分EF.∴①②③正确，④不正确．
二、填空题(每题3分，共30分)
11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．

【答案】110°
12．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．
【答案】3
13．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题．
【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假
14．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.
【答案】20°
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为________．
【答案】2eq \r(7)
16．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝________．
【答案】70°
17．等腰三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝eq \f(1,2)AC，则等腰三角形ABC底角的度数为________．
【答案】45°或15°或75°
【解析】：如图①，AC是底边，AB＝CB.
∵BD⊥AC，∴AD＝CD＝eq \f(1,2)AC.
∵BD＝eq \f(1,2)AC，∴AD＝BD.
∴∠A＝∠ABD＝45°.
如图②，BC是底边，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
∵BD＝eq \f(1,2)AC，∴BD＝eq \f(1,2)AB.
又∵BD⊥AC，∴∠BAD＝30°.
∵∠BAD＝∠ABC ＋∠C ＝2∠C，
∴∠C＝15°.
如图③，BC是底边，同理可得∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝75°.
若AB是底边，同理可得等腰三角形ABC底角的度数为15°或75°.
综上，等腰三角形ABC底角的度数为45°或15°或75°.
18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE＝________．

【答案】2 点拨：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠DAC＋∠DCA＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA＝90°.∴∠DAC＝∠ECB.
又∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBE.
∴AD＝CE＝3，CD＝BE＝1.
∴DE＝CE－CD＝3－1＝2.
19．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为________．
【答案】3eq \r(3)
20．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．
【答案】4eq \r(7)
【解析】：如图，在AB上截取AE′＝4，易知E′与E关于AD对称，则ME′＝ME.连接CE′，当点M为CE′与AD的交点时，EM＋CM的值最小，即为线段CE的长度．过点C作CF⊥AB，垂足为F.

∵△ABC是等边三角形，
∴AF＝eq \f(1,2)AB＝6，CF＝eq \r(AC2－AF2)＝6eq \r(3).∴E′F＝AF－AE′＝2.
∴CE′＝eq \r(CF2＋E′F2)＝4eq \r(7).
三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)
21．已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．
求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)
【答案】解：如图，△PBD为所求作的三角形．

22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【答案】(1)证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
(2)解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝2.
∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝3.
23．如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵BE，CD是两条高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB(AAS)．
∴∠DBC＝∠ECB.
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O在∠BAC的平分线上．
理由：如图，连接AO.
∵△BDC≌△CEB，
∴DC＝EB.
∵OB＝OC，
∴OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴点O在∠BAC的平分线上．
24．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画图．
(1)在图①中画出一个面积为4的等腰三角形ABC(点C在格点上)，使A，B，C中任意两点都不在同一条网格线上；
(2)在图②中画出一个面积为5的直角三角形ABD(点D在格点上)，使A，B，D中任意两点都不在同一条网格线上．
【答案】解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．
25．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．
【答案】解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直．
理由：∵AB＝AC＝BC＝6 cm，
∴当点Q到达点C时，BP＝3 cm.
∴点P为AB的中点．
∴PQ⊥AB.
(2)能．
∵∠B＝60°，
∴当BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形．
∴6－t＝2t，解得t＝2.
∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形．
26．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题．
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【答案】解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－80°)÷2＝50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.
故∠B为50°或20°或80°.
(2)分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个．
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180－x,2)))°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
当eq \f(180－x,2)≠180－2x且180－2x≠x且eq \f(180－x,2)≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．