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初中数学1.2 全等三角形课时练习
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这是一份初中数学1.2 全等三角形课时练习，共20页。试卷主要包含了两个全等的直角三角形重叠在一起等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》
同步优生能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图已知∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，下列添加条件中不能证明△ABC≌△ADE的是（ ）
A．DE＝BC B．AB＝AD C．∠C＝∠E D．∠B＝∠D
3．如图，AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，AO与BC交于点D，则图中共有（ ）对全等三角形．
A．8 B．7 C．6 D．5
4．如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
5．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
7．两个全等的直角三角形重叠在一起．将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝4，DO＝1，平移距离为2．则阴影部分面积为（ ）
A．7 B．6 C．14 D．4
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
9．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是 （只需填写一个）．
12．如图，若∠AOB＝∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，OC＝4，则四边形AOBC的面积是 ．
13．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE下列说法中不正确的有 ．（多选）
A．CE＝AE；
B．△ABD和△ACD面积相等；
C．BF∥CE；
D．△BDF≌△CDE．
14．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH＝EF，AH＝DF，AB＝DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则n＝ ．
15．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ ．
16．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．
17．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝ ．
18．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有 ．
19．如图所示，△BKC≌△BKE≌△DKC，BE与KD交于点G，KE与CD交于点P，BE与CD交于点A，∠BKC＝134°，∠E＝22°，则∠KPD＝ ．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝58°，连接CE，则∠BCE的度数为 ．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．如图，点E，F在CD上，AD＝BC，DE＝CF，∠D＝∠C，求证：AF∥BE．
22．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，若S△ABC＝9，DE＝6，求CG的长．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
24．已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：AD＝BE；
②请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
①∠AEB的度数为 ；
②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长为 ．
25．如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．
（1）求证：△ABC≌△DAE，
（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．
26．如图，已知AD、BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．
（1）求证：△ABM≌△DCN；
（2）试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
2．解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
故B、C、D选项正确符合题意，A选项B不符合题意，
故选：A．
3．解：∵AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，
∴AO平分∠BAC，点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BAD和△CAD中，
，
∴△BAD≌△CAD（SSS）；
同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCF，△OEA≌△OFA，△OBA≌△OCA，△BEC≌△CFB，△ABF≌△ACF，
由上可得，图中共有7对全等的三角形，
故选：B．
4．解：∵BD是高，∠CBD＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD＝∠CBE＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
5．解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF．
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选：C．
6．解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
故选：B．
7．解：由平移的性质可知，△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝4，BE＝2，S△ABC＝S△DEF，
∴OE＝DE﹣DO＝4﹣1＝3，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO＝×（4+3）×2＝7，
故选：A．
8．解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，
∵∠C＝2∠CDB，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，
故选：C．
9．解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
10．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误．
故选：B．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；
添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；
故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．
12．解：如图，
作CN⊥OA，CM⊥OB，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴∠3+∠4＝180°，
∵∠5+∠4＝180°，
∴∠3＝∠5，
∵OC平分∠AOB，
∴CM＝CN，
在△CAN和△CMB中，
，
∴△CAN≌△CMB（AAS），
∴CN＝CM，
∵∠ONC＝∠OMC＝∠MON＝90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∴四边形CNOM是正方形，
∴四边形AOBC的面积等于正方形CNOM．
设正方形CNOM的边长为x，OC＝4，由勾股定理可知：
x2+x2＝16，
∴x2＝8，
∴四边形AOBC的面积等于8．
故答案为：8．
13．解：由题中的已知条件不能得到AE＝CE，故A不正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△BAD的边BD上的高和△ACD的边CD上的高相同，
∴△ABD和△ACD面积相等，故B正确；
∵在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故D正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠CED，
∴BF∥CE，故C正确；
故答案为：A．
14．解：在△ABH和△DEF中，
，
∴△ABH≌△DEF（SSS），
∴∠EDF＝∠BAH，∠AHB＝∠EFD＝90°，
∴∠EDF﹣∠BAD＝∠BAH﹣∠BAD，
∴∠B＝∠DAH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
设∠B＝∠DAH＝y，∠BAD＝∠DAC＝x，
∴2y+x＝90°，∠CAH＝∠DAC﹣∠DAH＝x﹣y，
∴∠ACB＝90°﹣∠HAC＝3y，
∵∠DAC+n∠ACB＝90°，
∴x+3ny＝90°，
∴3n＝2，
∴n＝，
故答案为：．
15．解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，如图所示：
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝25°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝130°，
∵∠EBC＝30°，
∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案为：100°．
16．解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°．
故答案为：135°．
17．解：在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°，
∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
18．解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正确；
∠CBD＝∠AEC，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC，
∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°，③错误；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，④正确；
∠AMC＝∠DNC，②正确；
CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
19．解：∵△BKC≌△BKE，∠BKC＝134°，
∴∠BKE＝∠BKC＝134°，
∴∠PKC＝360°﹣134°﹣134°＝92°，
∵△BKE≌△DKC，∠E＝22°，
∴∠DCK＝∠E＝22°，
∴∠KPD＝∠PKC+∠DCK＝92°+22°＝114°，
故答案为：114°．
20．解：如图，当点D在射线BC上时，
∵∠BAC＝∠DAE＝58°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝61°，
同理∠AED＝∠ADE＝61°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
∴∠BCE＝61°+61°＝122°．
当点D在射线BC的反向延长线上时，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE＝58°，
故答案为122°或58°．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．证明：∵DE＝CF，
∴DE+EF＝CF+FE，
即DF＝CE，
在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴∠AFD＝∠BEC，
∴AF∥BE．
22．证明：（1）∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE＝90°，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE＝6，
∵S△ABC＝×AB×CG＝9，
∴6CG＝18，
∴CG＝3．
23．解：AB+BE＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴AB＝DE，BD＝CD，
∵DE+BE＝BD，
∴AB+BE＝CD．
24．解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ABC和△DEC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACB﹣∠DCF＝∠DCE﹣∠DCF，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE；
②∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°；
（2）①∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°＝∠CED，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，
故答案为：90°；
②∵△ACD≌△BCE，BE＝2，
∴BE＝AD＝2，
∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，
∴∠DCF＝∠AFC，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4，
故答案为：4．
25．（1）证明：∵DE＝AB+DC，AB＝AD，
∴DE＝AD+DC＝AC，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DAE，
∴∠EAD＝∠B，
∴∠B+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝∠EAB＝125°，
∴∠DCB＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣125°＝55°．
26．（1）证明：∵BN＝CM，
∴BN+MN＝MN+CM，
即CN＝BM，
∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠AMB＝∠DNC＝90°，
在Rt△ABM和Rt△DCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）；
（2）解：OA＝OD，理由如下：
∵Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴AM＝DN，
在△AMO和△DNO中，
，
∴△AMO≌△DNO（AAS），
∴OA＝OD．
2021-2022学年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》
同步优生能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图已知∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，下列添加条件中不能证明△ABC≌△ADE的是（ ）
A．DE＝BC B．AB＝AD C．∠C＝∠E D．∠B＝∠D
3．如图，AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，AO与BC交于点D，则图中共有（ ）对全等三角形．
A．8 B．7 C．6 D．5
4．如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
5．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
7．两个全等的直角三角形重叠在一起．将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝4，DO＝1，平移距离为2．则阴影部分面积为（ ）
A．7 B．6 C．14 D．4
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
9．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是 （只需填写一个）．
12．如图，若∠AOB＝∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，OC＝4，则四边形AOBC的面积是 ．
13．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE下列说法中不正确的有 ．（多选）
A．CE＝AE；
B．△ABD和△ACD面积相等；
C．BF∥CE；
D．△BDF≌△CDE．
14．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH＝EF，AH＝DF，AB＝DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则n＝ ．
15．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC＝BF，∠DAC＝25°，∠EBC＝30°，∠C＝ ．
16．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．
17．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝ ．
18．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有 ．
19．如图所示，△BKC≌△BKE≌△DKC，BE与KD交于点G，KE与CD交于点P，BE与CD交于点A，∠BKC＝134°，∠E＝22°，则∠KPD＝ ．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝58°，连接CE，则∠BCE的度数为 ．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．如图，点E，F在CD上，AD＝BC，DE＝CF，∠D＝∠C，求证：AF∥BE．
22．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，若S△ABC＝9，DE＝6，求CG的长．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
24．已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：AD＝BE；
②请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
①∠AEB的度数为 ；
②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长为 ．
25．如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．
（1）求证：△ABC≌△DAE，
（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．
26．如图，已知AD、BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．
（1）求证：△ABM≌△DCN；
（2）试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
2．解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
故B、C、D选项正确符合题意，A选项B不符合题意，
故选：A．
3．解：∵AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，
∴AO平分∠BAC，点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BAD和△CAD中，
，
∴△BAD≌△CAD（SSS）；
同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCF，△OEA≌△OFA，△OBA≌△OCA，△BEC≌△CFB，△ABF≌△ACF，
由上可得，图中共有7对全等的三角形，
故选：B．
4．解：∵BD是高，∠CBD＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD＝∠CBE＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
5．解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF．
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选：C．
6．解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
故选：B．
7．解：由平移的性质可知，△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝4，BE＝2，S△ABC＝S△DEF，
∴OE＝DE﹣DO＝4﹣1＝3，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO＝×（4+3）×2＝7，
故选：A．
8．解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，
∵∠C＝2∠CDB，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，
故选：C．
9．解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
10．解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误．
故选：B．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；
添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；
故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．
12．解：如图，
作CN⊥OA，CM⊥OB，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴∠3+∠4＝180°，
∵∠5+∠4＝180°，
∴∠3＝∠5，
∵OC平分∠AOB，
∴CM＝CN，
在△CAN和△CMB中，
，
∴△CAN≌△CMB（AAS），
∴CN＝CM，
∵∠ONC＝∠OMC＝∠MON＝90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∴四边形CNOM是正方形，
∴四边形AOBC的面积等于正方形CNOM．
设正方形CNOM的边长为x，OC＝4，由勾股定理可知：
x2+x2＝16，
∴x2＝8，
∴四边形AOBC的面积等于8．
故答案为：8．
13．解：由题中的已知条件不能得到AE＝CE，故A不正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△BAD的边BD上的高和△ACD的边CD上的高相同，
∴△ABD和△ACD面积相等，故B正确；
∵在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故D正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠CED，
∴BF∥CE，故C正确；
故答案为：A．
14．解：在△ABH和△DEF中，
，
∴△ABH≌△DEF（SSS），
∴∠EDF＝∠BAH，∠AHB＝∠EFD＝90°，
∴∠EDF﹣∠BAD＝∠BAH﹣∠BAD，
∴∠B＝∠DAH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
设∠B＝∠DAH＝y，∠BAD＝∠DAC＝x，
∴2y+x＝90°，∠CAH＝∠DAC﹣∠DAH＝x﹣y，
∴∠ACB＝90°﹣∠HAC＝3y，
∵∠DAC+n∠ACB＝90°，
∴x+3ny＝90°，
∴3n＝2，
∴n＝，
故答案为：．
15．解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，如图所示：
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝25°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝25°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝130°，
∵∠EBC＝30°，
∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案为：100°．
16．解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°．
故答案为：135°．
17．解：在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°，
∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
18．解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正确；
∠CBD＝∠AEC，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC，
∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°，③错误；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，④正确；
∠AMC＝∠DNC，②正确；
CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
19．解：∵△BKC≌△BKE，∠BKC＝134°，
∴∠BKE＝∠BKC＝134°，
∴∠PKC＝360°﹣134°﹣134°＝92°，
∵△BKE≌△DKC，∠E＝22°，
∴∠DCK＝∠E＝22°，
∴∠KPD＝∠PKC+∠DCK＝92°+22°＝114°，
故答案为：114°．
20．解：如图，当点D在射线BC上时，
∵∠BAC＝∠DAE＝58°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝61°，
同理∠AED＝∠ADE＝61°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
∴∠BCE＝61°+61°＝122°．
当点D在射线BC的反向延长线上时，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE＝58°，
故答案为122°或58°．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．证明：∵DE＝CF，
∴DE+EF＝CF+FE，
即DF＝CE，
在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴∠AFD＝∠BEC，
∴AF∥BE．
22．证明：（1）∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE＝90°，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE＝6，
∵S△ABC＝×AB×CG＝9，
∴6CG＝18，
∴CG＝3．
23．解：AB+BE＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴AB＝DE，BD＝CD，
∵DE+BE＝BD，
∴AB+BE＝CD．
24．解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ABC和△DEC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACB﹣∠DCF＝∠DCE﹣∠DCF，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE；
②∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°；
（2）①∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°＝∠CED，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，
故答案为：90°；
②∵△ACD≌△BCE，BE＝2，
∴BE＝AD＝2，
∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，
∴∠DCF＝∠AFC，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4，
故答案为：4．
25．（1）证明：∵DE＝AB+DC，AB＝AD，
∴DE＝AD+DC＝AC，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DAE，
∴∠EAD＝∠B，
∴∠B+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝∠EAB＝125°，
∴∠DCB＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣125°＝55°．
26．（1）证明：∵BN＝CM，
∴BN+MN＝MN+CM，
即CN＝BM，
∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠AMB＝∠DNC＝90°，
在Rt△ABM和Rt△DCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）；
（2）解：OA＝OD，理由如下：
∵Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴AM＝DN，
在△AMO和△DNO中，
，
∴△AMO≌△DNO（AAS），
∴OA＝OD．
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