1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式；
2．掌握数列求和的几种基本方法．
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
2．等比数列前n项和公式：
(1)当q＝1时，Sn＝na1；
(2)当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1 n＝1,Sn－Sn－1 n≥2)).
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
(1)eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)；
(2)eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1))；
(3)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).

一、选择题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝eq \f(1,nn＋1)，则S5等于( )
A．1 B.eq \f(5,6) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,30)
答案 B
解析 ∵an＝eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴S5＝(1－eq \f(1,2))＋(eq \f(1,2)－eq \f(1,3))＋…＋(eq \f(1,5)－eq \f(1,6))
＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
2．数列{an}的通项公式an＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若前n项的和为10，则项数为( )
A．11 B．99 C．120 D．121
答案 C
解析 ∵an＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)，
∴Sn＝eq \r(n＋1)－1＝10，∴n＝120.
3．数列1eq \f(1,2)，2eq \f(1,4)，3eq \f(1,8)，4eq \f(1,16)，…的前n项和为( )
A.eq \f(1,2)(n2＋n＋2)－eq \f(1,2n) B.eq \f(1,2)n(n＋1)＋1－eq \f(1,2n－1)
C.eq \f(1,2)(n2－n＋2)－eq \f(1,2n) D.eq \f(1,2)n(n＋1)＋2(1－eq \f(1,2n))
答案 A
解析 1eq \f(1,2)＋2eq \f(1,4)＋3eq \f(1,8)＋…＋(n＋eq \f(1,2n))
＝(1＋2＋…＋n)＋(eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n))
＝eq \f(nn＋1,2)＋eq \f(\f(1,2)1－\f(1,2n),1－\f(1,2))
＝eq \f(1,2)(n2＋n)＋1－eq \f(1,2n)
＝eq \f(1,2)(n2＋n＋2)－eq \f(1,2n).
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝eq \f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n)所确定的数列{bn}的前n项之和是( )
A．n(n＋2) B.eq \f(1,2)n(n＋4) C.eq \f(1,2)n(n＋5) D.eq \f(1,2)n(n＋7)
答案 C
解析 a1＋a2＋…＋an＝eq \f(n,2)(2n＋4)＝n2＋2n.
∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝eq \f(nn＋5,2).
5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 B
解析 S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，
S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，
S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，
所以S17＋S33＋S50＝1.
6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于( )
A．2n－1 B．2n－1－1 C．2n＋1 D．4n－1
答案 A
解析由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，
那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.
二、填空题
7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．
答案－6
8．在数列{an}中，an＋1＝eq \f(2an,2＋an)，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.
答案 eq \f(2,n)
解析 ∵an＋1＝eq \f(2an,2＋an)，∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2).
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列且公差d＝eq \f(1,2).
∴eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(n－1,2)＝eq \f(n,2)，
∴an＝eq \f(2,n).
9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．
答案 1 473
解析 100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝eq \f(33×3＋99,2)＝1 683.
100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.
∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为
S1－S2＝1 683－210＝1 473.
10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝eq \f(1,3)Sn (n≥1)，则an＝____________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1， n＝1,\f(1,3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n－2， n≥2))
解析 an＋1＝eq \f(1,3)Sn，an＋2＝eq \f(1,3)Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝eq \f(1,3)(Sn＋1－Sn)＝eq \f(1,3)an＋1，
∴an＋2＝eq \f(4,3)an＋1 (n≥1)．
∵a2＝eq \f(1,3)S1＝eq \f(1,3)，∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1， n＝1,\f(1,3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n－2， n≥2)).
三、解答题
11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝eq \f(1,a\\al(2,n)－1)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝7，,2a1＋10d＝26，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,d＝2.))所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2＋2n.
所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝eq \f(1,a\\al(2,n)－1)＝eq \f(1,2n＋12－1)＝eq \f(1,4)·eq \f(1,nn＋1)
＝eq \f(1,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，
所以Tn＝eq \f(1,4)·(1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1))
＝eq \f(1,4)·(1－eq \f(1,n＋1))＝eq \f(n,4n＋1)，
即数列{bn}的前n项和Tn＝eq \f(n,4n＋1).
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1， ①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1. ②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝eq \f(1,9)[(3n－1)22n＋1＋2]．
能力提升
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，则an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案 A
解析 ∵an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，
∴an＋1－an＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))＝lneq \f(n＋1,n)＝ln(n＋1)－ln n.
又a1＝2，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n－ln 1＝2＋ln n.
14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(1,4)(an＋1)2，求{an}的通项公式．
解当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝eq \f(1,4)(a1＋1)2，
解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,4)(an＋1)2－eq \f(1,4)(an－1＋1)2＝eq \f(1,4)(aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＋2an－2an－1)，
∴aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)－2(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0.
∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．
2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．