高中人教版新课标A第二章 数列综合与测试课后练习题

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易错点1 忽略数列与一般函数的区别
1.(★★☆)已知函数f(x)=ax-5,x≥6,4-a2x+4,x0)的等比数列.
(1)求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3成立的q的取值范围;
(2)求数列{an}的前2n项和S2n.
易错点5 忽略等差数列中为0的项而出错
8.(2019江西上饶中学高二月考,★★☆)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且满足a1>0,S11=S18,则当n为何值时,Sn取得最大值?
易错点6 对等比数列中项的符号变化规律弄不清致错
9.(★★☆)已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则a2-a1b2= .
思想方法练
一、函数思想在数列中的应用
1.(★★★)已知数列{an}为等差数列,且满足a2=0,a6=12,数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=1,bn+1=2Sn+1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,不等式k·Sn+12≥an恒成立,求实数k的取值范围.
二、方程思想在数列中的应用
2.(★★☆)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=90,a5=8,则a4=( )
A.16B.12C.8D.6
3.(2020安徽合肥高一期末,★★☆)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a4=6,a6=S3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若k∈N*,且ak,a3k,S2k成等比数列,求k的值.
三、分类讨论思想在数列中的应用
4.(★★☆)已知数列{an}满足an-(-1)nan-1=n(n≥2),记Sn为{an}的前n项和,则S40= .
5.(★★☆)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,求证:lg Sn+lgSn+220(n=1,2,…).
(1)求q的取值范围;
(2)设bn=an+2-32an+1,记{bn}的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小.
答案全解全析
易混易错练
1.答案 487,8
解析 由题意得a>1,4-a2>0,f(5)-(2n+1).
∵数列{-(2n+1)}是单调递减数列,
∴当n=1时,-(2n+1)取得最大值-3,
∴b>-3.
3.答案 318
解析 不妨设34是方程x2-3x+a=0的根,由根与系数的关系可得,该方程的另一根为3-34=94,
由等差数列的性质,知94是此等差数列的第四项,方程x2-3x+b=0的两根是等差数列的中间两项.根据等差数列知识易知,此等差数列为34,54,74,94.故a=2716,b=3516,从而a+b=318.
4.解析 设等比数列{an}的公比为q,
则Sm=a1+a2+a3+…+am,
S2m=a1+a2+a3+…+am+am+1+…+a2m,
S3m=a1+a2+a3+…+a2m+a2m+1+…+a3m.
所以S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m,S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m,
所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m是公比为qm的等比数列,
所以(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m),
即(90-30)2=30×(S3m-90),
所以S3m=210.
5.解析 由a1=1,an+1=13Sn,易得a2=13,a3=49,a4=1627.
由an+1=13Sn得,an=13Sn-1(n≥2),所以an+1-an=13Sn-13Sn-1=13an(n≥2),
即an+1=43an(n≥2).又a1=1,a2=13,所以该数列从第二项开始为等比数列,
故an=1(n=1),13×43n-2(n≥2).
6.答案 2或8
解析 设等比数列{an}的公比为q.
当q=1时,S3=3a1=6,
符合题意,此时a3=a1=2;
当q≠1时,由S3=a1·(1-q3)1-q=2(1-q3)1-q=6,解得q=-2或q=1(舍去),
此时a3=a1·q2=8.
综上可知,a3=2或8.
7.解析 (1)∵数列{anan+1}是公比为q的等比数列,
∴an+1an+2=anan+1q,an+2an+3=anan+1q2.
由anan+1+an+1an+2>an+2an+3,
得anan+1+anan+1q>anan+1q2,
∴1+q>q2,即q2-q-10),
解得00.
①当q=1时,Sn=na1,SnSn+2-Sn+12=na1×(n+2)a1-[(n+1)a1]2=-a121,解②得-1