人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试教案

这是一份人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试教案，共60页。教案主要包含了递推公式，零存整取问题，定期自动转存问题，分期付款问题等内容，欢迎下载使用。
§2.1 数列的概念及简单表示（1）
教学目标
1．通过大量实例，理解数列概念，了解数列和函数之间的关系
2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
4．提高观察、抽象的能力．
教学重点：
1．理解数列概念；
2．用通项公式写出数列的任意一项．
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式．
教学方法：发现式教学法
教学步骤：
一．
（引言）数产生于人类社会的生产、生活需要，它是描绘静态下物体的量，因此，在人类社会发展的历程中，离不开对数的研究，在这一背景下产生数列。数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列
（设置情景）看下列一组实例：
（1）课本32页“三角形数问题”
（2）见EXCEL
（3）某种放射性物质最初的质量为1，每经过一年剩留这种物资的84％，则这种物资各年开始时的剩留量排成一列数：1，，，，……
（4）－1的1次幂，2次幂，，……排成一列数：－1，1，－1，1，……
（5）无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，……
提出问题：上述各组数据有何共同特征？
二．探求与研究.
I.基础知识：
1.数列：按一定的次序排列的一列数叫数列。
2．项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 其中第1项也叫做首项
3.项数：数列的各项所在的位置序号叫做项数。
4．数列的表示：
（1）一般形式：，，，…，…其中是数列的第项。
（2）简单表示：
5．通项公式：若数列的第项与它的项数之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。简记为。
说明：（1）通项公式的本质：反映了数列的项与项数之间的对应关系（函数关系）。
（2）依次用1，2，3，…代替公式中的，就可以求出这个数列的各项。
6．用函数的观点认识数列：

项数 1 2 3 4 … 64

项 1 2 …
实质：数列是一个定义域为正整数集（或有限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。即，，，…，，…
7．数列的图像表示：
画出数列（1）
（2）的图像，并说明它们的图像是由什么组成的。
说明：数列的图像是一串孤立的点。
8．数列的分类：
（1）按项数多少分类：
（2）按增减性分类：
II.知识运用：
例1．根据下面数列的通项公式，写出它的前五项：
（1）；
（2）。
例2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数。
（1）1， －3，5，－7；
（2）0，1，0，1；
（3），，，；
（4），，，。

练习：第108页练习3，4。
三．作业：
1． 写出下列各数列的一个通项公式：
（1）3，5，7，9，……
（2），，，，……
（3）－1，，，，，，…
（4），-1，，，，，…
2．已知无穷数列：1×2，2×3，3×4，……，，……。
（1）求这个数列的第10项；
（2）420和421是否是这个数列的项，若是，应是第几项？
3．课本39页 2、3






2.1.数列的简单表示方法（2）
教学目标
1．理解数列概念，了解数列和函数之间的关系
2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
4．提高观察、抽象的能力．
教学重点：
1．理解数列概念；
2．用通项公式写出数列的任意一项．
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式．
教学方法：发现式教学法
教学步骤：



一设置情景：

1． 叫数列。
2．数列的一般形式是 。
3．数列的通项公式反映了数列的 和 的对应关系。
二.知识运用：
例1．根据下面数列的通项公式，写出它的前五项：
（1）； （2）。
例2．已知无穷数列：1×2，2×3，3×4，……，，……。
（1）求这个数列的第10项；
（2）420和421是否是这个数列的项，若是，应是第几项？
例3．写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数。

（1）2， 6，12，20……
（2）0，1，0，1……
（3）-1，4，-9，16……
（4），，，……
（5）9，99，999，9999，……
例4在数列中，，，且；求出这个数列的前五项。
【递推公式】
如果已知数列的第一项（或前K项）,且任一项与前K项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
例5根据下列数列的首项和递推公式，写出它们的前五项，并猜想出通项公式。
（1），
（2），
例6．已知数列的通项公式是，
（1） 数列中有多少项是负数？
（2）为何值时，有最小值，并求最小值。
三．小结
四．作业
1．写出下列各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，……
（2），，，，……
（3）－1，，，，，，…
（4），-1，，，，，…
2．．求下列数列的前五项，并猜想数列的通项公式。
（1）
（2），
3．已知数列的通项公式是，求此数列的最大项。
（ *）探究：你能根据循环数列特征求出数列
5，55，555，5555，…的通项公式吗？











2.1.数列的简单表示方法（3）
教学目标:
1．了解数列的前n项和公式，明确前n项和公式与通项公式的异同
2．会根据数列的前n项和公式写出数列的前几项，并能猜想、归纳出数列的通项公式。
3．培养学生推理能力．
教学重点:
根据数列的前n项和公式写出数列的前几项，及归纳出数列的通项公式。
教学步骤：
一．设置情景：
1．已知数列的通项公式为：
则
2．已知数列满足，，则
二．探索与研究：
1．数列的前n项和：给定数列，从第一项到第n项连续的和叫做数列的前n项和。
记为：

注意：前n项和与n项和的区别。
2．前n项和公式
如果一个数列的前n项和与的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的前n项和公式。
3．数列前n项和公式与数列通项公式的关系：


三．数列前n项和公式的应用举例：
例1．已知数列的前n项和为，求数列的前五项。
例2．已知数列的前n项和为，试判断这个数列在n为何值时，前n项和最小，并求前n项和的最小值。
【变式】已知数列的前n项和为，试判断这个数列在n为何值时，前n项和最小，并求前n项和的最小值。
例3．已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。
【变式】已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。
例4．已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。
说明：关键是正确使用关系式，并验证是否符合所求出的通项公式。


例5．数列中，，，求
三．作业：
1． 已知数列，，
（1） 写出数列的前5项.
（2） 猜想数列的通项公式
2．数列中，，求当n为何值时，前n项和达到最大值，并求出这个最大值。
3．已知数列的前n项和，求通项公式。
4．已知数列的前n项和，求通项公式。
【探究】5．设＋…＋，
求。














2.2等 差 数 列(1)
教学目标
1．明确等差数列的定义．
2．掌握等差数列的通项公式，解决知道中的三个，求另外一个的问题
3．培养学生观察、归纳能力．
教学重点
1.等差数列的概念；
2.等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法 :启发式数学,归纳法.
一.知识导入
1.观察下列数列,写出它的一个通项公式和递推公式,并说出它们的特点.
1) 2，4，6，8，10 …
2）15，14，13，12，11 …
3）2，5，8，11，14 …
2.课本41页的三个实际问题
【归纳】共同特点:每一个数列，从第二项起与前一项的差相同。
二．等差数列
1.定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
以上三个例子的公差d分别为2,-1,3.
定义说明:1)同一个常数的含义.
2)公差d的取值范围.
2.等差数列的通项公式:
设数列是首项为,公差为的等差数列.
由定义有:
思路1:



……………
,
思路2:



……………


两端相加:

故等差数列的通项公式为:

其中:为第n项,为首项,为公差.(共有四个量,知三求一)
利用等差数列的通项公式验证三个引例.
广义通项公式:

3.等差数列的递推公式:

三.例题分析
1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.
(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
2.在等差数列中,已知求首项与公差
3.已知数列的前n项和公式
(1)求数列的通项公式.
(2)证明是等差数列.
4.已知等差数列的前三项分别为
(1)求的值.
(2)求该数列的第10项.
5.梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：
a1=33, a12=110，n=12
∴,即时10=33+11
解之得：
因此，

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

四.小结
五.作业
1. 已知下列等差数列,求通项公式
(1) 1,4,7,10…
(2) 32, 26, 20, 14…
(3) , , …
2.已知等差数列{}中
(1),求
(2),求,
(3) 求n
3.数列{}中,前n项和
(1)求通项公式
(2)证明{}是等差数列
【探究】设{}是首项为m公差为d的等差数列，从中选取数列的第项，（）构成一个新的数列{}，你能求出{}的通项公式吗？







2.2 等 差 数 列(2)
教学目标
1．明确等差中的概念．
2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
3．培养学生的应用意识．
教学重点:等差数列的性质
教学难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
教学方法:讲练相结合,分析法.
一知识回顾
1. 等差数列的通项公式:
广义通项公式:
2. 等差数列的递推公式:
3.已知等差数列中
(1)则
(2),则
(3)则
(4)则
4.已知是公差为d的等差数列,则 是等差数列吗? 呢?

5.已知是公差为d的等差数列,
(1)从这个数列中抽出第1,3,5,7,9…项构成等差数列吗?
(2) 从这个数列中抽出第1,4,7,10,13…项构成等差数列吗?
(3) 从这个数列中抽出第3,6,9,12,15…项构成等差数列吗?
二新课:
1.等差数列的性质:
(1)若
则:
(2)为常数,也是等差数列.
(3)下标成等差数列的项也成等差数列.
(4),是等差数列,则也是等差数列.
2.等差中项
在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列,那么A叫做与的等差中项。
由定义,实数的等差中项.
三.例题分析
1.求下列各组数的等差中项.
(1) 2和21 (2)和
2.证明：如果{}是等差数列,则，反子亦然。
3.已知等差数列{}中
(1), 求,d
(2)求
(3),求的值.
4.三个数成等差数列,其和为9,平方和为35,求此数列.

5.若成等差数列.求证:也成等差数列.
四:作业
A.1. 已知{}为等差数列
(1)求的值
(2)
求 的值
2. 已知三数成等差数列,首末两项的积为中项的5倍,后两项的和为第一项的8倍,求此三数
3.已知等差数列满足,,,
求
【探究】有固定项的数列的前n项和为：
，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均数是79
(1)数列的通项公式
(2)求这个数列的项数，抽取的是第几项？
课 题：2.3 等差数列前项和（1）
教学目标：
知识与技能目标：
掌握等差数列前n项和公式，能较简单应用等差数列前n项和公式求和。
过程与方法目标：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，
学会观察、归纳、反思。
情感、态度与价值观目标：
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导.
教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.
教学方法: 讲授法、发现法

教学过程：
一、 问题呈现:
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝
沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的
主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶
饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石
镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
二、 探究发现:
学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段 。
为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
问题2：如何求1到的正整数之和.
问题3：如何求等差数列的前项和.
三、 公式推导:
=
公式说明:
1)的特征,形象理解. 2)推导思想: 倒序相加
2.前n项和公式与n的关系:
可知:
是关于n的二次函数,故点落在函数上的点.
四、 公式应用:
例1. (1) . (2) .
(3) .
例2．2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 如果开始时有1.275亿元可以支配，那么按照上面的方法划拨经费，可以再持续多少年？
例3．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.
1),, 求
2),求
3),,求
例4．已知等差数列,且满足 ,求的前n项和.
练习： I.求正整数列前个偶数的和；II.求正整数列前个奇数的和；
III.在三位正整数的集合中有多少个数既是的倍数又是的倍数？求它们的和.
五、 知识回顾、小结:
1.推导等差数列前项和公式的思路； 2.公式的应用中的数学思想.

六．作业：
A 1.课本52页 练习 1 2 3
2.课本52页 习题 1
B．课本53页 4
C．【探究】设{an},{bn}都为等差数列，它们的前n项和分别为Sn,Tn且,求








2.3等差数列的前n项和(2)
教学目标
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．
2.进一步理解等差数列的前n项和公式的函数关系,能解决前n项和的最值问题.
教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式,最值的求解
教学难点:灵活应用求和公式解决问题.
教学方法:启发式教学法与讲练相结合
教学过程:
一.要点回顾
1.等差数列的通项公式:
2.等差数列的前n项和公式:
3.等差数列的前n项和公式是关于项数n的 函数,其解析式为:
4.等差数列的通项公式和前n项和公式中一共出现 个量,可以通过知 求 体现 思想。
5.等差数列,, 则 n =
6. 在等差数列中,已知 求和；
二例题分析:
1求集合的元素个数，并求这些元素的和。
【变式】求在1000以内的（小于等于1000）正整数中，能被2整除，但不能被6整除的所有正整数的个数，并求它们的和。
2． 在等差数列中，，，求
【归纳】
【推广】 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求前30项的和
3．已知，都成等差数列，且 ，， 试求数列的前100项之和．
4．一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。


解一：设首项为，公差为 则
解二： 由

5．若四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数。
三小结





四．作业
1．在所有三位数中，有多少个能被11整除的数？并求这些能被11整除的三位数的和。
2．已知等差数列中,, 前10项和，求＋
3．项数为2n的等差数列中，各奇数项的和为75，各偶数项的和为90，末项与首项的差为27，则项数2n的值为多少？
4．已知一个共有n项的等差数列前4项和为26，末4项和为110，且所有项之和为187，求n的值。
【探究】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a13=12,S12>0,S13