人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案设计

总体集中趋势的估计

现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.

[问题]　三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？

知识点　众数、中位数和平均数

1．众数、中位数、平均数定义

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数；

(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)；

(3)平均数：一组数据的除以数据个数所得到的数．

2．总体集中趋势的估计

(1)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关；

(2)对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图①)，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图②)，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(图③)，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边；

(3)对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数．

众数、中位数、平均数的比较

　一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？

提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)中位数是一组数据中间的数．(　　)

(2)众数是一组数据中出现次数最多的数．(　　)

(3)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．

解析：＝6.

答案：6

[例1]　(链接教科书第203页例4)(多选)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：

甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；

乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11.

则下面结论中正确的是(　　)

A．甲的极差是29　　　　　 B．乙的众数是21

C．甲的平均数为21.4  D．甲的中位数是24

[解析]　把两组数据按从小到大的顺序排列，得

甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37；

乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23.

故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以A正确；乙中出现最多的数据是21，所以B正确；甲的平均数为x甲＝×(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以C正确；甲的中位数为×(22＋24)＝23，故D不正确．

[答案]　ABC

平均数、众数、中位数的计算方法

平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．　　　　

[跟踪训练]

1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)

A．85，85，85　　　　　　　 B．87，85，86

C．87，85，85  D．87，85，90

解析：选C　从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.

2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选A　因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A.

[例2]　(链接教科书第205页例5)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少(精确到元)?

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．

[解]　(1)平均数是：＝4 000＋(7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋1 333＝5 333(元)．

中位数是4 000元，众数是4 000元．

(2)平均数是′＝4 000＋(26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋2 212＝6 212(元)．

中位数是4 000元，众数是4 000元．

(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

众数、中位数、平均数的意义

(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大；

(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．　　　　

[跟踪训练]

　如表是五年级两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)：

(1)这两组数据的平均数，中位数和众数各是多少？

(2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？

解：(1)一班平均数：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，

一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，

所以一班中位数为33次，

33出现的次数最多，众数是33次；

二班平均数：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，

二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，

所以二班的中位数是29次，

29出现的次数最多，所以二班的众数是29次．

(2)运用平均数表示两个班的成绩更合适．

[例3]　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．

(1)求这次测试数学成绩的众数；

(2)求这次测试数学成绩的中位数．

[解]　(1)由题干图知众数为＝75，则这80名学生的数学成绩的众数为75分．

(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03×(x－70)，所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分．

[母题探究]

1．(变设问)若本例的条件不变，求数学成绩的平均数．

解：由题干图知这次数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72(分)．

2．(变设问)若本例条件不变，求80分以下的学生人数．

解：分数在[40，80)内的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.

用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数

(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；

(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数；

(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．　　　　

[跟踪训练]

某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间(单位：小时)，绘成的频率分布直方图如图所示．

(1)求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数；

(2)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．

解：(1)100×[1－(0.04＋0.12＋0.05)×2]＝58(名)，

即这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时内的人数为58.

(2)由频率分布直方图可以看出最高矩形底边中点的横坐标为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时．

设中位数为t，由(0.04＋0.12)×2＝0.32，(0.04＋0.12＋0.15)×2＝0.62，0.32<0.5<0.62，得中位数t满足6<t<8.

由0.32＋(t－6)×0.15＝0.5，

得t＝7.2，

即这100名学生参加实践活动时间的中位数的估计值为7.2小时．

由(0.04＋0.12＋0.15＋a＋0.05)×2＝1，

解得a＝0.14，

这100名学生参加实践活动时间的平均数的估计值为0.04×2×3＋0.12×2×5＋0.15×2×7＋0.14×2×9＋0.05×2×11＝7.16(小时)．

1．已知数据－3，－2，0，6，6，13，20，35，则它的中位数和众数各是(　　)

A．6和6　　　　　　　　 B．3和6

C．6和3  D．9.5和6

解析：选A　∵从小到大排列的这8个数，排在中间的两个数都是6，∴中位数是6.∵6出现的次数最多，∴众数是6，故选A.

2．一组数据1，10，5，2，x，2，且2<x<5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的平均数为________．

解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷＝3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则＝3，解得x＝4，所以这组数据的平均数为x＝×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4.

答案：4

3．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：

分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．

解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.

这组数据的平均数是x＝×(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．

故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.