1. 如何再样本频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数？
2. 如何计算方差和标准差？
自主测评
判断
(1)平均数不一定是原数据中的数.( )
(2)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的.( )
(3)若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为0.( )
(4)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.( )
(5)标准差的大小不会越过极差.( )
(6)一般情况下数据中绝大部分数据落在[x-2s,x+2s]内,也有可能落在[x-2s,x+2s]外.( )
2.一组数据中的每一个数据都乘2,再都减80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( )
A.40.6,1.1 B.48.8,4.4 C.81.2,44.4 D.78.8,75.6
（二）共同探索
9.2.3 总体集中趋势的估计
在初中的学习中我们已经了解到，_______、________和_______等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的_____趋势，下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.
与________相比较，_________反映出样本数据中的更多信息，对样本的_______更加敏感.
众数只利用了出现次数______的那个值的信息. 众数只能告诉我们它比其他值出现的次数____，但并未告诉我们它比其他数值多的______. 因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对________也不敏感.
一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用________、________；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用______.
在某些情况下我们无法获知原始的样本数据，你能根据频率分布直方图提供的信息，给出估计方法吗？
根据频率分布直方图，估计样本的平均数、中位数和众数
（1）估计样本的平均数
因为样本平均数可以表示为______与它的______的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的________与小矩形的______的乘积之和近似代替.
（2）估计样本的中位数
根据中位数的意义，在样本中，有______的个体小于或等于中位数，也有______的个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______.
（3）估计样本的众数
根据众数定义得，在样本数据中出现次数_____数据就是众数. 因此在频率分布直方图中，我们常常把最高直方图底边的______作为众数的估计值.
9.2.4 总体离散程度的估计
假设一组数据是，用表示这组数据的平均数. 我们用每个______与_______的差的绝对值作为“距离”，即__________作为到的“距离”.可以得到这组数据到的“平均距离”为______________________.
为了避免式中含有绝对值，通常改用_______来代替，即
________________________________. （1）
我们称（1）式为这组数据的________. 有时为了计算方差的方便，我们还可以把方差写成以下形式
________________________________.
由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即
________________________________. （2）
我们称（2）式为这组数据的___________.
如果总体中所有个体的变量值分别为,总体平均数为，则称
_____________________________为总体方差，_____________ 为总体标准差。与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式。如果总体的个变量值中，不同的值共有，不妨记为，其中出现的频数为____，则总体方差为________________________________.
如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称________________为样本方差，_________为样本标准差.
________刻画了数据的离散程度或波动幅度. 标准差越____，数据的离散程度越____；标准差越____，数据的离散程度越____. 显然，在刻画数据的分散程度上，_____和_______是一样的；但在实际问题中，一般多采用________.
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.例如，9.2.1节中100户居民的月用水量数据，可以计算出样本平均数和样本标准差.
,
.
如图所示，可以发现，这100个数据中大部分落在区间__________内，在区间___________外的只有7个.也就是说，绝大部分数据落在__________内.

例1 利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
例2 某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格. 根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如表所示：
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
例3 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62. 你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？
课堂练习
1. 根据表9.2-2中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数和第80百分位数．（注：已知该市属于“严重污染”等级的空气质量指数不超过400)
表9.2-2
2. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.估计居民月均用水量的平均数、中位数和众数.

3. 某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人为了获得该校全体学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.
（1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？
（2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本均值和方差各位多少吗？
（3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？
课堂总结
1. 用样本频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数；
2. 方差和标准差的计算.
2024—2025学年下学期高一数学导学案（41）
9.2 用样本估计总体（2）