人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案设计

【新教材】9.2.4 总体离散程度的估计

 教学设计（人教A版）

本节是主要介绍如何从样本中提取基本信息:方差、标准差、极差，来推断总体的情况.统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.

课程目标

1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．

2.会求样本数据的方差、标准差、极差．

3.理解离散程度参数的统计含义.

数学学科素养

1．数学抽象：方差、标准差有关概念的理解；

2．数学运算：求方差、标准差;

3. 数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体.

重点：求样本数据的方差、标准差、极差.

难点：用样本平均数和样本标准差估计总体.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

在初中我们学过方差、中位数和平均数标准差的概念，他们都是描述一组数据的离散程度的特征数.回忆它们的定义及特点，用样本平均数和样本标准差怎样估计总体.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本209-213页，思考并完成以下问题

1、标准差和方差各指什么？

2、标准差和方差的特征各是什么？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.方差、标准差的定义

一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为(xi－)2＝－2，标准差为.

2.总体方差、总体标准差的定义

如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2

为总体方差，S＝为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.

3.样本方差、样本标准差的定义

如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2

为样本方差，s＝为样本标准差．

4.方差、标准差特征

标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．

四、典例分析、举一反三

题型一  标准差与方差的应用

例1　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

【答案】　(1)甲＝100，乙＝100.s＝，s＝1.

(2)乙机床加工零件的质量更稳定.

【解析】　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定.

解题技巧（实际应用中标准差、方差的意义）

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高．

跟踪训练一

1．为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．

理科：79,81,81,79,94,92,85,89

文科：94,80,90,81,73,84,90,80

计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好？

【答案】理科1＝85(分)，方差s＝31.25；文科2＝84(分)，方差s＝41.75.

理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．

【解析】计算理科同学成绩的平均数1＝×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85(分)，方差s＝×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；

计算文科同学成绩的平均数2＝×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84(分)，方差s＝×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75.

因为1>2，s<s，

所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．

题型二  用样本平均数和样本标准差估计总体

例2 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？

【答案】能，估计为51.4862

【解析】引入记号，把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.

根据方差的定义，总样本方差为，为了与联系，变形为，计算后可得，.这样变形后可计算出．这也就是估计值．

解题技巧 (用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项)

（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.

（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换．

跟踪训练二

1．在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．

【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.

【解析】 把专业人士打分样本记为x1，x2，…，x8，其平均数记为，方差记为s；把观众代表打分样本记为y1，y2，…，y12，其平均数为，方差记为s；把总体数据的平均数记为，方差记为s2.

则总样本平均数为：＝×47.4＋×56.2＝52.68(分)，

总样本方差为：s2＝[(xi－)2]＋(yj－)2]

＝{8[s＋(－)2]＋12[s＋(－)2]}

＝{8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2]}＝107.6，

总样本标准差s＝10.37.

所以计算这名选手得分的平均数为52.68分，标准差为10.37.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本213页练习，214例习题9.2的剩余题.

本节课学生难掌握的是用样本平均数和样本标准差估计总体，在此类题型中学生对公式的转化有一定的困难，需细细推敲.