高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体优秀教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体优秀教学设计，共11页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第九章《统计》的第二节《用样本估计总体》。以下是本节的课时安排：
学生在初中已经学习了平均数、中位数和众数等刻画“中心位置”的量，本节继续探究它们之间的联系与区别以及根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势，教师点拨引出本节课所学内容。
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数),培养数据分析的核心素养；
2.会求样本数据的众数、中位数、平均数，提升数学运算的核心素养；
3.理解集中趋势参数的统计含义，培养数据分析的核心素养。
1.重点：会用样本的数字特征估计总体的数字特征
2.难点：会用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本估计总体的思想解决问题
（一）新知导入
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：(单位：年)
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
【问题】三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
【提示】三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年.
（二）总体集中趋势的估计
知识点一 平均数
(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为.在频率分布直方图中，平均数eq \x\t(x)＝，其中fi为第i个小矩形对应的频率，xi为第i个小矩形底边中点的横坐标．
(2)特征：样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数不具有的性质．所以与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，但平均数受样本中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
【做一做】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
解析：eq \f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.
答案：6
知识点二 中位数
(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变．
【做一做】一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的中位数为 。
解析：把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其中位数为14.
答案：14
知识点三 众数
(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．在频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边的中点．
(2)特征：一组数据中的众数可能不止一个．众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度．因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感．
【做一做】一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数为 。
答案 ：14
【探究1】一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？
【提示】一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个.
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(√)
2.样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.(×)
3.若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变.(×)
（三）典型例题
1.平均数、众数、中位数的计算
例1. 已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
解析：由题意得a＝eq \f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq \f(157,10)＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.
答案：D
【类题通法】计算一组数据的众数、中位数和平均数时，一般都要先处理数据，即按从小到大的顺序排列数据，然后根据众数、中位数、平均数的概念及计算方法求解.
【巩固练习1】某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分
C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分
解析：由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为eq \f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10)＝87.
答案：C
2.利用平均数、众数、中位数估计总体
例2.据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.
解：(1)平均数是：eq \(x,\s\up6(－))＝4 000＋
eq \f(7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20,33)≈4 000＋1 333＝5 333(元).
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(2)平均数是eq \(x,\s\up6(－))′＝4 000＋
eq \f(26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20,33)≈4 000＋2 212＝6 212(元)，
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
【类题通法】众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
【巩固练习2】某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群 54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解;(1)甲群市民年龄的平均数为
eq \f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为
eq \f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
3.利用频率分布直方图求平均数、众数、中位数
例3.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数；
(3)求这次测试数学成绩的平均分．
解：(1)由图知众数为eq \f(70＋80,2)＝75.
(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
(3)由图知这次数学成绩的平均分为：
eq \f(40＋50,2)×0.005×10＋eq \f(50＋60,2)×0.015×10＋eq \f(60＋70,2)×0.02×10＋eq \f(70＋80,2)×0.03×10＋eq \f(80＋90,2)×0.025×10＋eq \f(90＋100,2)×0.005×10＝72.
【类题通法】1．众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在频率分布表中，中位数是累计频率(样本数据小于某一数值的频率叫做该数值点的累计频率)为0.5时所对应的样本数据的值，而在样本中有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．平均数是频率分布直方图的“重心”．
2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．
【巩固练习3】从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图估计：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩.
解:(1)最高矩形的高是0.03，其底边中点是eq \f(70＋80,2)＝75，则这50名学生成绩的众数估计是75分.
频率分布直方图中，从左到右前3个和前4个矩形的面积和分别是(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3＜0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6＞0.5，设中位数是m，则70＜m＜80，则0.3＋(m－70)×0.03＝0.5，解得m≈76.7(分)，即这50名学生成绩的中位数约是76.7分.
(2)每个小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标的和为0.004×10×eq \f(40＋50,2)＋0.006×10×eq \f(50＋60,2)＋0.02×10×eq \f(60＋70,2)＋0.03×10×eq \f(70＋80,2)＋0.024×10×eq \f(80＋90,2)＋0.016×10×eq \f(90＋100,2)＝76.2.
即这50名学生的平均成绩约是76.2分.
（四）操作演练 素养提升
1.下列数据的中位数和众数分别是( )
79，84，84，86，84，87，93
A.84，84 B.84，86
C.85，84 D.86，84
2.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为( )
A．4.55 B．4.5 C．12.5 D．1.64
3.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )
A.20 B. 25
C.22.5
4.一组数据1，10，5，2，x，2，且2