人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案，共5页。

[重点] 通过数字特征的计算，提升数学运算素养．
[难点] 借助实际统计问题的应用，培养数学建模素养．
要点整合夯基础
知识点 众数、中位数、平均数
[填一填]
1．众数
一组数据中出现次数最多的数．
2．中位数
一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
3．平均数
一组数据的和除以数据个数所得到的数．
[答一答]
三种数字特征的优缺点？
提示：
典例讲练破题型
类型 众数、中位数、平均数
[例] 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
[分析] 按照众数、中位数、平均数的定义计算即可．
[解] (1)平均数是
eq \x\t(x)＝1 500＋eq \f(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500,33)＋
eq \f(1 000×5＋500×3＋0×20,33)≈1 500＋591＝2 091，中位数是1 500，众数是1 500.
(2)新的平均数是
eq \x\t(x)′＝1 500＋eq \f(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500,33)＋
eq \f(1 000×5＋500×3＋0×20,33)≈1 500＋1 788＝3 288，新的中位数是1 500，新的众数是1 500.
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
平均数、众数、中位数都是描述一组数据的特点，但描绘的含义不同.
[变式训练] 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解：(1)甲群市民年龄的平均数为
eq \f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15，中位数为15，众数为15.
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
eq \f(54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋56,10)＝15，中位数为6，众数为6.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
课堂达标练经典
1．一个样本数据从小到大的顺序排列为12,15,20，x,23,28,30,50，其中，中位数为22，则x＝( A )
A．21 B．15
C．22 D．35
解析：因为数据有8个，所以中位数为：eq \f(x＋23,2)＝22，所以解得：x＝21，故选A.
2．由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于－1，那么对于样本1，x1，－x2，x3，－x4，x5的中位数可以表示为( C )
A.eq \f(1,2)(1＋x2) B.eq \f(1,2)(x2＋x1)
C.eq \f(1,2)(1＋x5) D.eq \f(1,2)(x3－x4)
解析：∵x13．某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是( D )
A．参与奖总费用最高
B．三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍
C．购买奖品的费用的平均数为9.25元
D．购买奖品的费用的中位数为2元
解析：参与奖的百分比为： 1－30%－10%－5%＝55%.
设人数为单位1，
一等奖费用： 20×5%＝1；
二等奖费用： 10×10%＝1；
三等奖费用： 5×30%＝1.5；
参与奖费用： 2×55%＝1.1.
故购买奖品的费用的平均数为4.6元，参与奖的百分比为55%，故购买奖品的费用的中位数为2元，故选D.
4．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.
①这组数据的众数是3；
②这组数据的众数与中位数的数值不相等；
③这组数据的中位数与平均数的数值相等；
④这组数据的平均数与众数的值相等．
其中正确的结论的个数为( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：在这11个数据中，数据3出现了6次，出现次数最多，故众数是3；将这11个数据按从小到大排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间的数据是3，故中位数是3；平均数eq \x\t(x)＝eq \f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4.故选A.
5．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是85分．
解析：由题意知，该校数学建模兴趣班的平均成绩是 eq \f(40×90＋50×81,40＋50)＝85.
——本课须掌握的问题
对众数、中位数、平均数的几点说明
(1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．在实际应用中，样本中位数和样本平均数可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策．
(2)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心．
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500