高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体测试题，文件包含人教A版高中数学必修第二册同步讲义第41讲总体离散程度的估计原卷版doc、人教A版高中数学必修第二册同步讲义第41讲总体离散程度的估计含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 方差、标准差
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
问题1 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？
提示 eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋7)＝7.
问题2 观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
提示 直观上看，还是有差异的．甲成绩比较分散，乙成绩相对集中．
问题3 对于甲、乙的射击成绩，除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的离散程度？
提示 还经常用甲、乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度．甲命中环数的极差＝10－4＝6，乙命中环数的极差＝9－5＝4.极差在一定程度上表明了样本数据的离散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略．
知识点02 方差、标准差与统计图表的综合应用
【即学即练2】甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为( )
A．s1>s2>s3 B．s1>s3>s2
C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1
答案 B
解析 比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间．综上可知s1>s3>s2.
知识点03 分层随机抽样的方差
在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？
提示 把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为eq \x\t(x)，方差记为seq \\al(2,x)；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为eq \x\t(y)，方差记为seq \\al(2,y)；把总样本数据的平均数记为eq \x\t(z)，方差记为s2.
根据方差的定义，总样本方差为
s2＝eq \f(1,50)[(xi－eq \x\t(z))2＋(yj－eq \x\t(z))2]
能力拓展
考法01 方差、标准差
【典例1】例1 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下：
甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
解 (1)甲组：最高分为95，最低分为60，极差为95－60＝35，
平均数为eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79，
方差为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119.
乙组：最高分为95，最低分为65，极差为95－65＝30，
平均数为eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5，
方差为seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25.
(2)由于乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定．
从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定．
反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，离散程度越小，数据越集中，越稳定．
【变式训练】从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
求：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
解 (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，
同理可得eq \x\t(x)乙＝31，
∴eq \x\t(x)甲(2)seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，
同理可得seq \\al(2,乙)＝128.8，
∵seq \\al(2,甲)考法02 方差、标准差与统计图表的综合应用
【典例2】甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价．
解 (1)由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10,13,12,14,16；
乙：13,14,12,12,14.
eq \x\t(x)甲＝eq \f(10＋13＋12＋14＋16,5)＝13，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由(1)知seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，则乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
反思感悟 折线统计图中数字特征的求解技巧
根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小．
考法03
【典例3】 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200；乙队体重的平均数为70 kg，方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
解 由题意可知eq \x\t(x)甲＝60 kg，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，
eq \x\t(x)乙＝70 kg，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为
eq \x\t(x)＝w甲eq \x\t(x)甲＋w乙eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝w甲[seq \\al(2,甲)＋(eq \x\t(x)甲－eq \x\t(x))2]＋w乙[seq \\al(2,乙)＋(eq \x\t(x)乙－eq \x\t(x))2]
＝eq \f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq \f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.
【变式训练】某中学为研究该校男女学生在生活费(单位：元)支出上的差异，在高一年级400名学生(其中男生220人，女生180人)中随机抽取了22名男生与18名女生，统计他们的生活费支出，得到下面的结果：
男生：eq \x\t(x)1＝520，seq \\al(2,1)＝250；
女生：eq \x\t(x)2＝500，seq \\al(2,2)＝280；
试根据以上数据估计该校高一学生生活费支出的总体均值、总体方差．
解 总体均值为eq \f(220,400)×520＋eq \f(180,400)×500＝511，总体方差为eq \f(220,400)×[250＋(520－511)2]＋eq \f(180,400)×[280＋(500－511)2]＝362.5.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是( )
A．极差 B．平均数
C．方差 D．标准差
答案 B
解析 平均数是反映数据集中趋势的一项指标，不能反映样本数据的离散程度大小．
2．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 B
解析 ∵eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝eq \r(\f(1,5)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32)))＝eq \r(2).
3．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是( )
A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀)
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
答案 ABC
解析 甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，所以A正确；
seq \\al(2,甲)＝191＞110＝seq \\al(2,乙)，所以甲班的成绩不如乙班的稳定，即甲班的成绩波动较大，所以B正确；
甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确；
由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误．
4．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________．
答案 2
解析 设这10个数分别为x1，x2，，则由题意知eq \x\t(x)＝4，xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,10)＝200，
s＝eq \r(\f(1,10)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋x10－\x\t(x)2])
＝eq \r(\f(1,10)x\\al(2,1)＋x\\al(2,2)＋…＋x\\al(2,10)－10\x\t(x)2)
＝eq \r(\f(200－160,10))＝2.
题组B 能力提升练
1．甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是( )
A．甲 B．乙
C．甲、乙相同 D．不能确定
答案 A
解析 因为甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，
则甲每场比赛的得分波动比乙的小，即甲发挥更稳定．
2．(多选)下列四个选项中，正确的是( )
A．极差与方差都反映了数据的集中程度
B．方差是没有单位的统计量
C．标准差比较小时，数据比较分散
D．只有两个数据时，极差是标准差的2倍
答案 AD
解析 设两个数据分别为x1，x2，则极差等于|x2－x1|，标准差等于eq \f(1,2)|x2－x1|，故D正确．由定义可知A正确，B，C错误．
3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
答案 D
解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
4．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为( )
A.eq \f(6\r(5),5) B.eq \f(6,5) C．2 D.eq \r(2)
答案 D
解析 ∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，
∴eq \f(a＋6,5)＝1，解得a＝－1.
则样本的方差s2＝eq \f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为eq \r(2).
5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
其中eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
答案 C
解析 由题意可知两个班的数学成绩的平均数为
eq \x\t(x)＝eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，
则两个班数学成绩的方差为
s2＝eq \f(20,20＋30)×[2＋(eq \x\t(x)甲－eq \x\t(x))2]＋eq \f(30,20＋30)×[3＋(eq \x\t(x)乙－eq \x\t(x))2]＝eq \f(20,20＋30)×2＋eq \f(30,20＋30)×3＝2.6.
6．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为eq \x\t(x)，方差为s2，则( )
A.eq \x\t(x)＝5，s2<2 B.eq \x\t(x)＝5，s2>2
C.eq \x\t(x)>5，s2<2 D.eq \x\t(x)>5，s2>2
答案 A
解析 ∵eq \f(1,8)(x1＋x2＋…＋x8)＝5，
∴eq \f(1,9)(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝eq \f(40＋5,9)＝5，∴eq \x\t(x)＝5.
由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，
∴s2<2.
7．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
答案 16
解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，
可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为4×64＝256，即标准差为16.
8．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值eq \x\t(x)＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________.
答案 9.5 28.5
解析 eq \x\t(x)＝eq \f(1,20)×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s2＝eq \f(1,20)×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5.
9．甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：
甲：74 85 86 90 93
乙：76 83 85 87 97
现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由．
解 eq \x\t(x)甲＝eq \f(74＋85＋86＋90＋93,5)＝85.6；
eq \x\t(x)乙＝eq \f(76＋83＋85＋87＋97,5)＝85.6.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×[(74－85.6)2＋(85－85.6)2＋(86－85.6)2＋(90－85.6)2＋(93－85.6)2]＝eq \f(1,5)×209.2＝41.84；
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×[(76－85.6)2＋(83－85.6)2＋(85－85.6)2＋(87－85.6)2＋(97－85.6)2]＝eq \f(1,5)×231.2＝46.24.
因为eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)10．某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差．
解 根据题意，全班平均成绩为
eq \x\t(x)＝90×eq \f(20,40)＋80×eq \f(20,40)＝85，
第一组的平均数为eq \x\t(x)1＝90，方差为seq \\al(2,1)＝16.
第二组的平均数为eq \x\t(x)2＝80，方差为seq \\al(2,2)＝36.
则该班学生的方差为
s2＝eq \f(20,40)×[seq \\al(2,1)＋(eq \x\t(x)1－eq \x\t(x))2]＋eq \f(20,40)×[seq \\al(2,2)＋(eq \x\t(x)2－eq \x\t(x))2]
＝eq \f(1,2)×[16＋(90－85)2]＋eq \f(1,2)×[36＋(80－85)2]＝51.
∴s＝eq \r(51).
综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和eq \r(51).
题组C 培优拔尖练
1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq \x\t(x)A和eq \x\t(x)B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.eq \x\t(x)A>eq \x\t(x)B，sA>sB B.eq \x\t(x)AsB
C.eq \x\t(x)A>eq \x\t(x)B，sA答案 B
解析 由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以eq \x\t(x)A＝eq \f(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10,6)＝eq \f(25,4)，
eq \x\t(x)B＝eq \f(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10,6)＝eq \f(35,3).
显然eq \x\t(x)A又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB.
2．(多选)在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，则( )
A．所剩数据的平均数是9.4
B．所剩数据的平均数是9.5
C．所剩数据的方差是0.016
D．所剩数据的方差是0.04
答案 BC
解析 eq \x\t(x)＝eq \f(9.4×3＋9.6＋9.7,5)＝9.5，s2＝eq \f(1,5)×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝eq \f(1,5)×(0.12×4＋0.22)＝0.016.
3．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体均值为2，总体方差为3
B．乙地：总体均值为3，中位数为4
C．丙地：总体均值为1，总体方差大于0
D．丁地：中位数为2，总体方差为3
答案 A
解析 对于A，假设至少有一天的疑似病例超过7人，
此时方差s2>eq \f(1,10)×(8－2)2＝3.6>3，这与题设矛盾，所以假设不成立，故A正确；
对于B，平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过7人，故B错误；
对于C，总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据波动的大小，故C错误；
对于D，中位数为2，总体方差为3，如2,2,2,2,2,3,3,3,3,8，
平均数为eq \f(1,10)×(2＋2＋2＋2＋2＋3＋3＋3＋3＋8)＝3，
方差s2＝eq \f(1,10)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5×2－32＋4×3－32＋8－32))＝3，
满足题意，但是其中一天新增疑似病例8人，故D错误．
4．某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为eq \x\t(x)＝3，方差为s2＝1.966，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为eq \x\t(x)1＝2.7，eq \x\t(x)2＝3.1，eq \x\t(x)3＝3.3，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为seq \\al(2,1)＝1，seq \\al(2,2)＝2，则高三学生每天读书时间的方差seq \\al(2,3)＝________.
答案 3
解析 由题意可得，1.966＝eq \f(800,2 000)×[1＋(2.7－3)2]＋eq \f(600,2 000)×[2＋(3.1－3)2]＋eq \f(600,2 000)×[seq \\al(2,3)＋(3.3－3)2]，解得seq \\al(2,3)＝3.
5．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________.
答案 100
解析 由题意得a＋b＝10×2＝20，eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(2＋3＋3＋…＋21)＝10，
要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a－10)2＋(b－10)2最小，
即a＝b＝10，故ab＝100.
6．已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下表是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？
解 ①eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4(℃)，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4(℃)．
②极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20；
乙地温度极差＝10－0＝10.
③方差：
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(－5－4)2＋…＋(－4－4)2＋(－3－4)2]≈70.7，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(1－4)2＋…＋(2－4)2＋(0－4)2]≈12.3，
显然两地的平均温度相等，乙地温度的极差、方差较小，说明乙地温度波动较小．
因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋．
课程标准
课标解读
1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差.2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法．
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法．但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策．这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识．
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
班级
人数
平均数
方差
甲
20
eq \x\t(x)甲
2
乙
30
eq \x\t(x)乙
3
等待时间/分
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频数
4
8
5
2
1
组别
平均数
标准差
第一组
90
4
第二组
80
6
时刻(时)
4
8
12
16
20
24
温度(℃)
甲地
－5
7
15
14
－4
－3
乙地
1
4
10
7
2
0