高中人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体精品学案

9.2　用样本估计总体

9.2.1　总体取值规律的估计

知识点　频率分布直方图

1．画频率分布直方图的步骤

(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差．

(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．

(3)将数据分组．

(4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1．

(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示．小长方形的面积＝组距×＝频率．各小长方形的面积总和等于1．

2．其它统计图表

(1)为什么要对样本数据进行分组？

(2)频数分布表与频率分布直方图有什么不同？

[提示]　(1)不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征．

(2)频数分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值． (　　)

(2)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数． (　　)

(3)扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到(　　)

A．79%　　　B．80%　　　C．18%　　　D．82%

D　[79%＋1%＋2%＝82%．]

3．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为(　　)

A．20    B．30    C．40    D．50

B　[样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30．]

4．某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是________．

0.1　[参加羽毛球活动的人数是4，则频率是＝0.1．]

类型1　频率分布直方图的画法

【例1】　一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下(单位：cm)：

6.5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6

5.8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.8

6.2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5

6.8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4

6.4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.4

6.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6

5.3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0

5.6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7

5.8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.0

6.3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3

根据上面的数据列出频率分布表，绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗所占的百分比．

[解]　(1)计算极差：7.4－4.0＝3.4．

(2)决定组距与组数：

若取组距为0.3，因为≈11.3，需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3，组数为12．

(3)决定分点：

使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以是3.95～4.25，4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55．

(4)列频率分布表：

(5)绘制频率分布直方图如图．

从表中看到，样本数据落在5.75～6.35之间的频率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估计，在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗约占41%．

绘制频率分布直方图应注意的问题

(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推．

(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1．

1．如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm)．

(1)列出样本频率分布表；

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．

[解]　(1)样本频率分布表如下：

(2)其频率分布直方图如下．

(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%．

类型2　频率分布直方图的应用

【例2】　(对接教材P197练习T1)为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？

[解]　(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08．

又因为第二小组的频率＝，

所以样本容量＝＝＝150．

(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%．

频率分布直方图具备哪些性质？

[提示]　(1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．

(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1．

(3) 样本容量＝．

2．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)

A．56　　　B．60　　　C．120　　　D．140

D　[由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140．故选D．]

类型3　其它统计图表与频率分布直方图的综合应用

【例3】　如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图．

1．统计图表对于数据分析能够起到什么作用？

[提示]　(1)从数据中获取有用的信息；

(2)直观、准确地理解相关的结果．

2．条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图这四种统计图中，哪些可以从图中看出原始数据？

[提示]　折线图．

[解]　该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：

其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10%，最低气温为－2 ℃的有1天，占10%，最低气温为－1℃的有2天，占20%，最低气温为0℃的有2天，占20%，最低气温为1℃的有1天，占10%，最低气温为2℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示．

若本例中条件不变，绘制该市3月1日到3月10日最低气温(单位：℃)的条形统计图．

[解]　该城市3月1日到3月10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：

其中最低气温为－3 ℃的有1天，最低气温为－2 ℃的有1天，最低气温为－1 ℃的有2天，最低气温为0 ℃的有2天，最低气温为1 ℃的有1天，最低气温为2 ℃的有3天．条形统计图如图所示．

折线统计图的读图方法

(1)读折线统计图时，首先要看清楚直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；其次要明确图中的数量及其单位．

(2)在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．

3．每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如下表所示)，并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图(如图所示)．

由两个统计图可知，选择d的人数和扇形统计图中e的圆心角度数分别为(　　)

A．500,28.8°   B．250,28.6°

C．500,28.6°   D．250,28.8°

A　[设接受调查市民的总人数为x，

由调查结果条形统计图可知选择a的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知选择a的人数比例为15%，

∴15%＝，解得x＝2 000．∴选择d的人数为2 000×25%＝500，∴扇形统计图中e的圆心角度数为(1－15%－12%－40%－25%)×360°＝28.8°．]

1．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出(单位：元)在[50,60]内的学生有30人，则n的值为(　　)

A．100　　　　B．1 000　　　　C．90　　　　D．900

A　[由题意可知，前三组的频率之和为(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，

∴支出在[50,60]内的频率为1－0.7＝0.3，∴n＝＝100．]

2．某公司2019年在各个项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，那么不少于3万元的项目投资共有(　　)

A．56万元   B．65万元

C．91万元   D．147万元

B　[由题意知，因为在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，

所以在1万元以上的项目投资中，不少于3万元的项目投资占比为，

而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1－46%－33%＝21%，

所以不少于3万元的项目投资共有500×21%×＝65(万元)．故选B．]

3．随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．如图是2012年至2018年中国雪场滑雪人次(单位：万)与同比增长率的统计图，则下列结论中不正确的是(　　)

A．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加

B．2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加

C．2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

D．2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%

C　[对于A,2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；

对于B,2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故B正确；

对于C,2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2018年比2013年增长人数多，故C错误；

对于D,2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为：×100%≈30.5%．故D正确．故选C．]

4．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：

则样本数据落在[10,40)上的频率为________．

0.52　[样本数据落在[10,40)上的频数为13＋24＋15＝52．则样本数据落在[10,40)上的频率为＝0.52．]

5．甲、乙两个城市2020年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是________(选填“甲”或“乙”)城市．

甲　[这9天里，乙城市的最高气温约为35 ℃，最低气温约为20 ℃；甲城市的最高气温约为25 ℃，最低气温约为21 ℃．故甲城市气温较稳定．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)画频率分布直方图的步骤是什么？

(2)如何从频率分布直方图中提取信息？

(3)频率分布直方图具备哪些性质？