人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案及反思

【新教材】9.2.3 总体集中趋势的估计

 教学设计（人教A版）

本节是主要介绍如何从样本中提取基本信息:众数、中位数、平均数，来推断总体的情况.统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.

课程目标

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)．

2.会求样本数据的众数、中位数、平均数．

3.理解集中趋势参数的统计含义.

数学学科素养

1．数学运算：求样本数据的众数、中位数、平均数；

2. 数据分析：频率分布直方图中的众数、中位数、平均数.

重点：求样本数据的众数、中位数、平均数.

难点：求样本数据的众数、中位数、平均数.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，他们都是描述一组数据的集中趋势大的特征数，只是描述的角度不同，回忆它们的定义及特点，在频率分布直方图中怎样求这些特征.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本203-207页，思考并完成以下问题

1、众数、中位数、平均数各是什么样的数？

2、在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．众数、中位数、平均数定义

(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．

(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．

(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．

2.频率分布直方图中的众数、中位数、平均数

①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；

②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；

③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

四、典例分析、举一反三

题型一  平均数、中位数、众数在具体数据中的应用

例1 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：

甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；

乙群：54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.

(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？

(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？

【答案】(1)甲中位数为15岁，众数为15岁．都能较好地反映甲群市民的年龄特征．

(2)中位数为5.5岁，众数为6岁．中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．

【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为＝15(岁)，

中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．

(2)乙群市民年龄的平均数为＝15(岁)，

中位数为5.5岁，众数为6岁．

由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．

解题技巧（众数、中位数、平均数的意义）

(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．

(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．

跟踪训练一

1.　某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：

选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩．

【答案】见解析

【解析】甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；

甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；

按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后，甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班有27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．

如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适．

题型二  在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数

例2　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．

(1)求这次测试数学成绩的众数；

(2)求这次测试数学成绩的中位数；

(3)求这次测试数学成绩的平均分．

【答案】(1) 75.(2) 73.3.(3)72.

【解析】(1)由图知众数为＝75.

(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.

(3)由图知这次数学成绩的平均分为：

×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.

解题技巧 (知频率分布直方图中求平均数、中位数、众数)

(1)众数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．

跟踪训练二

1.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间分别是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数、众数和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数)．

【答案】(1)a＝0.005.(2)平均数73(分)，众数65(分)．中位数71.7(分)．

【解析】 (1)由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，得10(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.

(2)这100名学生语文成绩的平均数为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)，

众数为＝65(分)．

∵这100名学生语文成绩在[50,70)的频率为(0.005＋0.04)×10＝0.45，

这100名学生语文成绩在[70,80)的频率为0.03×10＝0.3，

∴这100名学生语文成绩的中位数为70＋10×≈71.7(分)．

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本208页练习，214例习题9.2的2题.

统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习.因此在本节教学中所采用的数据和问题情境尽可能来源于实际，充分挖掘学生生活中与数据有关的素材，使他们体会所学内容与现实世界的密切联系.