人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案

9.2.3　 总体集中趋势的估计

【学习目标】

【自主学习】

一．    众数、中位数和平均数的概念

众数：一组数据中             的数．

中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于    位置的数．如果个数是偶数，则取     两个数据的平均数．

平均数：一组数据的    除以数据个数所得到的数．

二．众数、中位数和平均数的比较

三．在频率分布直方图中计算众数、中位数、平均数

1.平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的     与小矩形的

      的乘积之和近似代替．

2.中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该      ．

3.众数：众数是      小矩形底边的中点所对应的数据．

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的． (　　)

(2)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．(　　)

(3)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．(　　)

2.已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．

3.一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　)

A．14,14　　　　B．12,14     C．14,15.5      D．12,15.5

【经典例题】

题型一 平均数、中位数和众数的计算

例1 已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)

A．a＞b＞c　　　　　B．a＞c＞b        C．c＞a＞b D．c＞b＞a

【跟踪训练】1  某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．

题型二 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数

点拨：众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系

众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标.

中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.

平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和.

例2  (多选)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是(　 　)

A．成绩在[70,80)内的考生人数最多

B．不及格的考生人数为1 000

C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分

D．考生竞赛成绩的中位数为75分

【跟踪训练】2 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．

(1)求图中x的值；

(2)求这组数据的平均数和中位数．

【当堂达标】

1.下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(　　)

A．众数            B．中位数       C．平均数          D．都不会

2.对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.

①这组数据的众数是3；

②这组数据的众数与中位数的数值不相等；

③这组数据的中位数与平均数的数值相等；

④这组数据的平均数与众数的值相等．

其中正确的结论的个数为(　 　)

A．1  B．2  C．3  D．4

3.一个样本数据从小到大的顺序排列为12,15,20，x,23,28,30,50，其中，中位数为22，则x＝(  　)

A．21       B．15       C．22     D．35

4.某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是(　 　)

A．参与奖总费用最高

B．三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍

C．购买奖品的费用的平均数为9.25元

D．购买奖品的费用的中位数为2元

5.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________．

6.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.

求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；

(2)高一参赛学生的平均成绩．

【课堂小结】

一．一组数据中平均数、中位数和众数的计算及应用．

众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．

二．利用频率分布直方图求数字特征：

(1)众数是最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数左右两边直方图的面积应相等．

(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

【参考答案】

【自主学习】

出现次数最多  中间 中间 和 横坐标  面积   相等  最高

【小试牛刀】

1. (1)×　(2)×　(3)×

2.6　解析：＝6.

3.A　解析：把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14.

【经典例题】

例1 D　解析：由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.

【跟踪训练】1  解　(1)平均数是＝1 500＋＋

≈1 500＋591＝2 091，中位数是1 500，众数是1 500.

(2)新的平均数是′＝1 500＋＋

≈1 500＋1 788＝3 288，新的中位数是1 500，新的众数是1 500.

(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

例2 ABC 解析：由题中频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)内的频率为10×(0.01＋0.015)＝0.25，因此不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；C选项，由频率分布直方图可得，平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正确；因为成绩在[40,70)内的频率为10×(0.01＋0.015＋0.02)＝0.45，在[70,80)内的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．故选ABC.

【跟踪训练】2 解：(1)由(0.005＋0.010＋0.035＋0.030＋x)×10＝1，解得x＝0.02.

(2)这组数据的平均数为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝77.

中位数设为m，则0.05＋0.2＋(m－70)×0.035＝0.5，解得m＝.

【当堂达标】

1.A 解析：众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．

2.A 解析：在这11个数据中，数据3出现了6次，出现次数最多，故众数是3；将这11个数据按从小到大排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间的数据是3，故中位数是3；平均数＝＝4.故选A.

3.A 解析：因为数据有8个，所以中位数为：＝22，所以解得：x＝21，故选A.

4.D 解析：参与奖的百分比为： 1－30%－10%－5%＝55%.

设人数为单位1，一等奖费用：  20×5%＝1；二等奖费用：  10×10%＝1；

三等奖费用：  5×30%＝1.5；参与奖费用：  2×55%＝1.1.

故购买奖品的费用的平均数为4.6元，参与奖的百分比为55%，故购买奖品的费用的中位数为2元，故选D.

5.5解析：∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5，∴＝5，∴x＝6.

∴这组数据的平均数是＝5。

6.解：(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.

(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．