人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体优秀学案

9.2.4　总体离散程度的估计

知识点　方差、标准差

1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差

数据x1，x2，…，xn的方差为xi－)2＝－2，标准差为．

2．总体方差和标准差

(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称s2＝Yi－)2为总体方差，s＝为总体标准差．

(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2．

3．样本方差和标准差

如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差．

4．标准差的意义

标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．

5．分层随机抽样的方差

设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为

s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]．

(1)甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是＝81分吗？方差是＝3吗？为什么？

(2)数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差为s2，数据x1，x2，…，xn，的方差为s，那么s2与s的大小关系如何？

[提示]　(1)不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．

(2)因为数据x1，x2，…，xn，比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即s＜s2．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0． (　　)

(2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．              (　　)

[答案]　(1)√　(2)×

2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　)

图1　　　　　　图2　　　　　　图3

A．s3＞s1＞s2　　　　　　 B．s2＞s1＞s3

C．s1＞s2＞s3   D．s3＞s2＞s1

D　[所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1．]

3．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　)

A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．2

B　[∵样本容量n＝5，∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，

∴s＝

＝．]

类型1　方差和标准差的计算

【例1】　(对接教材P214T4)甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为

甲：99　100　98　100　100　103；

乙：99　100　102　99　100　100．

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

[解]　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．

标准差、方差的意义

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差．

(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．

标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．

1．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)

A．A>B，sA>sB　　 B．A<B，sA>sB

C．A>B，sA<sB   D．A<B，sA<sB

B　[A＝(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，

B＝(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝≈11.67．

s＝[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，

s＝

≈3.47．

故A＜B，sA＞sB．]

2．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是(　　)

A．40.6,1.1   B．48.8,4.4

C．81.2,44.4   D．78.8,75.6

A　[法一：设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80,2x2－80,2x3－80，…，2xn－80，

所以＝1.2，

所以＝1.2，

即＝40.6．

[(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2]＝4.4，

即[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝4.4，

所以[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝×4.4＝1.1．

法二：设原数据的平均数为，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2－80，方差为22s2，

由题意得2－80＝1.2,22s2＝4.4，解得＝40.6，s2＝1.1．]

类型2　分层随机抽样的方差

【例2】　在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差．(精确到0.1)

[解]　把甲同学抽取的样本的平均数记为，方差记为s；把乙同学抽取的样本的平均数记为，方差记为s；把合在一起后的样本的平均数记为，方差记为s2．

则＝≈5.4，

s2＝

＝

≈12.4．

即样本的平均数为5.4，方差为12.4．

如何计算分层随机抽样的方差s2？其步骤是什么？

[提示]　计算分层随机抽样的方差s2的步骤

(1)确定1，2，s，s，

(2)确定；

(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]，计算s2．

3．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？

[解]　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，

乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝，

则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68 kg，

甲、乙两队全部队员的体重的方差为

s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296．

类型3　数据的数字特征的综合应用

【例3】　在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：

请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．

1．对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？

[提示]　用平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．

2．对比两组数据时，要从哪几个方面进行？

[提示]　从众数、中位数、平均数和方差等几个方面．

[解]　(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．

(2)甲＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)

＝×4 000＝80，

乙＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)

＝×4 000＝80．

s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，

s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256．

∵甲＝乙，s<s，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．

(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．

(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．

数据分析的要点

(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．

(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．

4．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：

甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；

乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75．

经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？

[解]　甲的平均成绩和方差如下：

甲＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，

s＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6．

乙的平均成绩和方差如下：

乙＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，

s＝[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15．

显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．

在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛．

1．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)

A．8　　　　B．15　　　　C．16　　　　D．32

C　[已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16，故选C．]

2．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，

则：(1)平均命中环数为________；

(2)命中环数的标准差为________．

(1)7　(2)2　[(1)＝＝7．

(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．]

3．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________．

91　[由题意得

即解得或所以xy＝91． ]

4．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：

74,71,72,68,76,73,67,70,65,74．

(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；

(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．

[解]　(1)这10个学生体重数据的平均数为＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71．这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，∴这10个学生体重数据的中位数为＝71.5．

这10个学生体重数据的方差为s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，

这10个学生体重数据的标准差为s＝＝．

(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为．

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)如何计算一组数据的方差或标准差？

(2)如何计算分层随机抽样的方差？

(3)一组数据的方差或标准差反映了该组数据的什么特性？