高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆课后练习题

第二章　圆锥曲线与方程

§2.1  椭 圆

2.1.1　椭圆及其标准方程

课时目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．

1．椭圆的概念：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，轨迹是__________，当|PF1|＋|PF2|<|F1F2|时__________轨迹．

2．椭圆的方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________．

一、选择题

1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)

A．椭圆        B．直线        C．圆         D．线段

2．椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)

A．32         B．16          C．8          D．4

3．椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是(　　)

A.               B．(0，±1)

C．(±1,0)                 D.

4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－3，－1)             B．(－3，－2)

C．(1，＋∞)              D．(－3,1)

5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点，则该椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1                B.＋＝1

C.＋＝1                D.＋＝1

6．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)

A．钝角三角形             B．锐角三角形

C．斜三角形               D．直角三角形

二、填空题

7．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．

8．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是______．

9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米．

三、解答题

10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．

(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；

(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点.

11．已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．

能力提升

12．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A．2         B．3         C．6         D．8

13．如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．

    1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果2a＝|F1F2|，轨迹是

线段F1F2，如果2a<|F1F2|，则不存在轨迹．

2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．

3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．

第二章　圆锥曲线与方程

§2.1　椭　圆

2．1.1　椭圆及其标准方程

答案

知识梳理

1．常数　椭圆　焦点　焦距　线段F1F2　不存在

2.＋＝1 (a>b>0)　F1(－c，0)，F2(c，0)　2c　＋＝1  (a>b>0)

作业设计

1．D　[∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，

∴动点M的轨迹是线段．]

2．B　[由椭圆方程知2a＝8，

由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，

|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.]

3．D

4．B　[|a|－1>a＋3>0.]

5．D　[椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，

又过点验证即可．]

6．D　[由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.

由题可得||PF1|－|PF2||＝2，

则|PF1|＝5或3，|PF2|＝3或5.

又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．]

7．2　120°

解析　

∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，

∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.

在△F1PF2中，

cos∠F1PF2＝

＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.

8．4　3

解析　设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，

因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.

∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，

∴kmax＝4，kmin＝3.

9．m－n

解析　设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则，则2c＝m－n.

10．解　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，

∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．

∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.

∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)∵椭圆的焦点在y轴上，

∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．

由椭圆的定义知，2a＝ ＋

 ＝＋＝2，

∴a＝.

又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

11．解　∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，

∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2<4，

∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，

∴c＝，a＝2，b＝1，

∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1.

12．C　[由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，

则 ·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.

∵P为椭圆上一点，∴ ＋＝1.

∴ ·＝x＋x0＋3(1－)

＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.

∵－2≤x0≤2，

∴  ·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.]

13．解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，

则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.

由重心性质可知

|GB|＋|GC|

＝(|BD|＋|CE|)＝20.

∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，

∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．

∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，

b2＝a2－c2＝102－62＝64，

故G点的轨迹方程为＋＝1，

去掉(10,0)、(－10,0)两点．

又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.

由重心坐标公式知

故A点轨迹方程为＋＝1.

即＋＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．