高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆教案设计

第四课时  椭圆的简单几何性质

教学目标

       1、进一步理解并掌握椭圆的定义、标准方程

       2、能根据条件求出椭圆的标准方程

       3、进一步理解a、b、c、e的几何意义，会用几何性质解决有关问题

       4、在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程

教学过程

1、复习回顾

A组　椭圆的定义运用：

⑴ΔABC的周长为20，且B(－4,0),C(4,0)，则点A的轨迹方程是_____________.

x2/36+y2/20=1(y≠0)

⑵已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是_____________. x2/4+y2/3=1

⑶过点A(0,2)，且与圆B：x2＋(y＋2)2＝36内切的动圆圆心C的轨迹方程是__________.

       x2/5+y2/9=1

⑷一动圆与圆A：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆B：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程。

x2/25+y2/16=1

⑸椭圆x2/12＋y2/3＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，求点M的坐标。

⑹P是椭圆x2/100＋y2/64＝1上的一点，F1、F2分别是焦点.①如果∠F1PF2＝60º，求ΔF1PF2的周长及面积；②|PF1|•|PF2|的最大值。

分析：①考虑到∠F1PF2＝60º和三角形的面积S＝absinC/2，只要求出|PF1|•|PF2|问题就可以解决了.|PF1|•|PF2|如何求？如果设P(x,y)，由点P在椭圆上且∠F1PF2＝60º，利用这两个条件，列出关于x、y的两个方程，解出x、y，再求ΔF1PF2的面积，虽然思路清晰，但运算量过大，考虑到这是一个几何问题，能否利用图形的几何性质呢？椭圆的定义。

②考虑到|PF1|＋|PF2|＝20，要求|PF1|•|PF2|的最大值，应用算术平均数与几何平均数定理即可。

解：①∵|F1F2|＝12，|PF1|＋|PF2|＝20，∴ΔF1PF2的周长为32

设|PF1|＝m，|PF2|＝n,根据椭圆定义有m＋n＝20，

在ΔF1PF2中，∠F1PF2＝60º，由余弦定理得：m2＋n2－2mncos60º＝144

∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，∴mn＝256/3

又SΔF1PF2＝|PF1|•|PF2|sin60º/2，

②∵|PF1|＋|PF2|＝20

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时等号成立，

∴|PF1|•|PF2|的最大值是100。

⑺已知点P为椭圆x2/25＋y2/9＝1上的一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2。

①若|PF1|＝3.5，则d2＝______；②若|PF1|∶|PF2|＝2∶3，则点P的坐标是_______；③若d2＝4.5，则d1＝_______；④若P(3,y)，则|PF1|＝______；⑤若|PF1|⊥|PF2|，则点P的坐标是_______；⑥若点M(3,－2)在椭圆内部，则|PM|＋5|PF2|/4的最小值是_________。

小结：①点P(x0,y0)是椭圆x2/a2＋y2/b2＝1上的一点，F1、F2为椭圆的左焦点与右焦点，点P到左准线的距离为d1, 点P到右准线的距离为d2，则d1＝a2/c＋x0, d2＝a2/c－x0,|PF1|＝ed1＝a＋ex0，|PF1|＝ed2＝a－ex0。

②充分利用定义

⑻设椭圆x2/a2＋y2/b2＝1的两焦点为F1、F2，A1、A2为长轴的两个端点。

①P是椭圆上的一点，且∠F1PF2＝60º，求ΔF1PF2的面积；

②若椭圆上存在一点Q，使∠A1QA2＝120º，求椭圆离心率的范围。

分析：①在ΔF1PF2中，∠F1PF2＝60º，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60º

即4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2｜，又|PF1|＋|PF2|＝＝2a.∴|PF1||PF2|＝4(a2－c2)/3＝4b2/3

②设Q(x0,y0)，则x02/a2＋y02/b2＝1，∵∠A1QA2＝120º，不妨设A1(－a.0),A2(a,0),点Q在x轴上方

，又，　，∵y0≤b,,即

解得，∴e2=1-(b/a)2≥2/3,。

⑼求经过点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为1/2的椭圆左顶点的轨迹方程。

分析：设左顶点的坐标为P(x,y)，则由椭圆的第二定义可得左焦点为(3x/2,y),

又椭圆经过点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为1/2

，

整理得：

B组　利用图形及图形性质解题

⑴若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率是（　）D

⑵已知椭圆的一条准线方程是y＝9/2,则m等于（　）A

A、1　　　　　　　　B、2　　　　　　　　　　C、3　　　　　　　　D、7

⑶椭圆两焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴连线的夹角是（　）C

A、45º　　　　　　　B、60º　　　　　　　　　C、90º　　　　　　　D、120º

⑷椭圆x2/100＋y2/36＝1上的点P到它的左准线的距离是10，则点P到右焦点的

距离是（　）B

A、15　　　　　　　　B、12　　　　　　　　　C、10　　　　　　　D、8

⑸中心在原点，离心率为，且一条准线的方程是y＝3的椭圆方程是__________。x2/2＋y2/6＝1

⑹点M与定点F(8,0)的距离和它到定直线x＝25/2的距离之比为4∶5，则点M的轨迹方程是_________。

　　　　 x2/100＋y2/36＝1

归纳总结

•                                      数学思想：数形结合、类比的思想、特殊到一般

•                                      数学方法：图象法、化归法、待定系数法、换元法、辅助圆法

•                                      知识点：椭圆的定义、标准方程、椭圆中的最值问题

作业　

　　设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P(0，3/2)到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离为的点的坐标。

第五课时

教学目标

1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系

2、熟练地求弦长、面积、对称等问题

3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力

教学过程

1、复习回顾

椭圆的定义、几何性质

判断直线与圆的位置关系的方法

2、探索研究

直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的)，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离。

3、反思应用

例1　当m为何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离？

分析：将直线方程y＝x＋m代入椭圆9x2＋16y2＝144中，得9x2＋16(x＋m)2＝144，

整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∵Δ＝(32m)2―4·25(16m2―144)＝－576m2＋14400

当Δ＝0即m＝±5时，直线与椭圆相切；

当Δ＞0即－5＜m＜5时，直线与椭圆相交；

当Δ＜0即m＜－5或m＞5时，直线与椭圆相离。

例2　已知斜率为1的直线l经过椭圆x2＋4y2＝4的右焦点交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|。

分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆方程知：a2=4,b2=1,∴c2=3,∴右焦点,

∴直线l的方程为，代入椭圆得

小结：弦长公式

例3　过椭圆x2/16＋y2/4＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程。

解一：当弦AB的斜率不存在时，弦AB的方程为x=2，不合题意舍去

　　　设弦AB所在直线的方程为：y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理得

　　　(4k2＋1)x2―8(2k2―k)x＋4(k2―1)2―16＝0，又设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2为方程的两个根，

于是，又M为AB的中点，，解之得k＝－1/2，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0

解二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4,y1＋y2＝2

又∵A、B两点在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x,22＋4y22＝16，两式相减得x12－x22＋4(y12－y22)＝0,

,故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0

解三：设A(x,y)，由M(2,1)为AB的中点得B(4―x,2―y)

∵A、B两点在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，(4－x)2＋4(2－y)2＝16，两式相减得x＋2y－4＝0,

由于过A、B的直线只有一条，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0

小结：解一常规解法；解二是解决有关中点弦问题的常用方法；解三利用曲线系解题。

例4　试确定实数m的取值范围，使椭圆x2/4＋y2/3＝1上存在两点关于直线l：y＝2x＋m对称。

解一：设存在A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线l：y＝2x＋m对称，故可设直线AB的方程为y＝2x＋t，代入椭圆方程x2/4＋y2/3＝1，并整理得x2―tx＋t2―3＝0，则Δ＝t2―4(t2―3)＞0。解得－2＜t＜2。

∵x1＋x2＝t，∴AB的中点M为(t/2,3t/4),∵M在直线l上，∴3t/4＝2t/2＋m,即m＝－t/4,从而－1/2＜m＜1/2.

解二：设存在A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线l：y＝2x＋m对称，,则AB⊥l，且AB的中点M在l上，

设AB的中点M(x0,y0)，则x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0，

又∵A、B两点在椭圆上，∴3x12＋4y12＝12，3x,22＋4y22＝12，

两式相减得3(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0,

即y0＝3x0/2,又y0＝2x0＋m，解得x0＝－2m，y0＝－3m，

∵点M在椭圆内，，即m2＋3m2＜1，解得－1/2＜m＜1/2.

例5　椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|＝20/9，OP⊥OQ，求此椭圆的方程。

解：设椭圆方程为x2/a2＋y2/b2＝1(a＞b＞0)，左焦点F(－c,0)

当PQ⊥x轴时，|FP|＝|FQ|＝b2/a，由OP⊥OQ知|FO|＝|FQ|，即c＝b2/a,

∴ac＝a2－c2，即e2＋e－1＝0，解得，

这与条件不符，∴PQ不垂直x轴

设PQ：y＝k(x＋c)，P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵，∴设a＝2t,，则b＝t

∴椭圆方程可化为x2＋4y2＝4t2(t＞0)，将直线PQ的方程代入椭圆方程得

，则x1、x2为方程的根

∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，即

整理得：

，整理得k2＝4/11，

此时

∵|PQ|＝20/9，

即

所以所求椭圆方程为x2/4＋y2＝1

4、归纳总结

数学思想：数形结合、函数与方程

知识点：直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题

作业：

1、直线l与椭圆方程为4x2＋9y2＝36交于A、B两点，并且AB的中点M(1,1)，求直线l的方程。

2、求焦点，截直线l：y＝2x－1所得弦中点的横坐标为2/7的椭圆的标准方程。

答案：4x＋9y－13＝0； x2/75＋y2/25＝1