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    高中数学2.1椭圆达标测试

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    这是一份高中数学2.1椭圆达标测试,共10页。

    学业分层测评

    (建议用时:45分钟)

    [学业达标]

    一、选择题

    1.点A(a,1)在椭圆1的内部,则a的取值范围是(  )

    A.-a      Ba<-a

    C.-2a2 D1a1

    【解析】 A(a,1)在椭圆1内部

    1..

    a22a.

    答案】 A

    2.已知直线ykx1和椭圆x22y21有公共点,则k的取值范围是(  )

    Ak<-k Bk

    Ckk Dk

    【解析】 

    (2k21)x24kx10.

    直线与椭圆有公共点.

    Δ16k24(2k21)0

    kk.

    【答案】 C

    3(2016·重庆高二检测)过椭圆1的一个焦点F作垂直于长轴的弦,则此弦长为(  )

    A. B3

    C2   D.

    【解析】 因为F(±1,0),所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为,所以弦长为3.

    【答案】 B

    4.直线yx1被椭圆1所截得线段的中点的坐标是(  )

    A.   B.

    C.   D.

    【解析】 联立方程消去y,得3x24x20.设交点A(x1y1)B(x2y2),中点M(x0y0)

    x1x2=-x0=-y0x01

    中点坐标为.

    【答案】 C

    5.经过椭圆y21的右焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于AB两点,O为坐标原点,则·(  ) 导学号:26160041

    A.-3 B

    C.-或-3 D±

    【解析】 椭圆右焦点为(1,0)

    lyx1A(x1y1)B(x2y2)

    yx1代入y21

    3x24x0.

    A(0,-1)B

    ·=-.

    【答案】 B

    二、填空题

    6直线l过定点A(3,0),则过点A的直线与椭圆1的交点个数为________

    【解析】 A(3,0)为椭圆长轴一个顶点,

    当过点A作椭圆切线时,直线与椭圆有一个公共点(即切点);当过点A作与椭圆相交的直线时,二者有两个交点,故填12.

    【答案】 12

    7.已知动点P(xy)在椭圆1上,若A点坐标为(3,0)||1,且P·A0,则|P|的最小值是________

    【解析】 易知点A(3,0)是椭圆的右焦点.

    P·A0

    AP.

    |P|2|A|2|A|2|A|21

    椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故|A|min2

    |P|min.

    【答案】 

    8过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于AB两点,O为坐标原点,则OAB的面积为________

    【解析】 由题意知,右焦点坐标为(1,0),直线的方程为y2(x1),将其与1联立,消去y,得3x25x0.

    A(x1y1)B(x2y2),则x1x2x1x20

    所以|AB|·|x1x2|·.

    设原点到直线的距离为d,则d.

    所以SOAB|ABd××.

    【答案】 

    三、解答题

    9已知椭圆1,直线ly4x,若椭圆上存在两点PQ关于直线l对称,求直线PQ的方程.

    【解】 法一:P(x1y1)Q(x2y2)

    kPQ=-.

    PQ所在直线方程为y=-b.

    消去y,得

    13x28bx16b2480.

    Δ(8b)24×13×(16b248)0.

    解得b2x1x2

    PQ中点为M(x0y0),则有

    x0y0=-·b.

    M在直线y4x上,

    b=-.

    直线PQ的方程为y=-x

    2x8y130.

    法二:P(x1y1)Q(x2y2)

    M(x0y0)PQ的中点.

    则有两式相减,得

    3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.

    x1x2x1x22x0y1y22y0

    =-=-kPQ.

    kPQ=-y03x0.

    代入直线y4x

    x0=-y0=-

    则直线PQ的方程为y=-

    2x8y130.

    10.设F1F2分别是椭圆Ex21(0b1)的左、右焦点,过F1的直线lE相交AB两点,且|AF2||AB||BF2|成等差数列.

    (1)|AB|

    (2)若直线l的斜率为1,求b的值.

    【解】 (1)由椭圆定义知|AF2||AB||BF2|4

    2|AB||AF2||BF2|,所以|AB|.

    (2)直线l的方程为yxc,其中c.

    A(x1y1)B(x2y2),则AB两点坐标满足方程组

    化简得(1b2)x22cx12b20.

    则由根与系数的关系,得x1x2x1x2.

    因为直线AB的斜率为1

    所以|AB||x1x2|

    |x1x2|.

    所以(x1x2)24x1x2

    解得b2b2=-(舍去)

    b0b.

    [能力提升]

    1.已知椭圆1(a>b>0)的左焦点为FA(a,0)B(0b)为椭圆的两个顶点,若点FAB的距离为,则椭圆的离心率为(  )

    A.         B.

    C.   D.

    【解析】 直线AB的方程是1,即bxayab0.因为点F的坐标为(c,0),所以,化简,得8c214ac5a20,两端同除以a2,得8e214e50,解得e.

    【答案】 C

    2.已知椭圆Cy21的右焦点为F,直线lx2,点Al,线段AF交椭圆C于点B,若F3F,则|A|(  )

    A. B2

    C. D3

    【解析】 设点A(2n)B(x0y0)

    由椭圆Cy21a22b21

    c21,即c1右焦点F(1,0)

    F3F,得(1n)3(x01y0)

    13(x01)n3y0.

    x0y0n.

    x0y0代入y21,得

    ×221.解得n21

    |A|.

    【答案】 A

    3.若直线ykx1与曲线x有两个不同的交点,则k的取值范围是________

    【解析】 x,得x24y21(x0)

    直线ykx1过定点(0,1)

    故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点,当直线与椭圆(右侧部分)相切时,

    k=-,则相交时k<-.

    【答案】 

    4.设椭圆C1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于AB两点,直线l的倾斜角为60°A2F.

    (1)求椭圆C的离心率;  导学号:26160042

    (2)如果|AB|,求椭圆C的标准方程.

    【解】 A(x1y1)B(x2y2),其中y1<0y2>0.

    (1)直线l的方程为y(xc)

    其中c.

    联立,得

    消去x,得(3a2b2)y22b2cy3b40.

    解得y1y2

    因为A2F,所以-y12y2

    得离心率e.

    (2)因为|AB||y2y1|

    所以·.

    ba所以a所以a3b.

    所以椭圆C的标准方程为1.

     

     

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