高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆教案

这是一份高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆教案，共34页。



第1课时　椭圆及其标准方程

归纳总结，核心必记
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)椭圆的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程


图形


焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c
的关系
a2=b2＋c2

[问题思考]
(1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2;_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

(2)如图，你能从中找出表示a，b，c的线段吗？

提示：a=|PF2|，b=|OP|，c=|OF2|．
(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？
提示：a，b的值及焦点的位置．


讲一讲
1．已知椭圆＋=1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．
[尝试解答]　
∵|AF1|＋|AF2|=2a，|BF1|＋|BF2|=2a，
又∵△ABF2的周长=|AB|＋|BF2|＋|AF2|=|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|=4a，
∴△ABF2的周长为4a.


由椭圆的定义可知，点的集合P={M||MF1|＋|MF2|=2a}(其中|F1F2|=2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a=c时，集合P为线段F1F2；当a



练一练
1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|=2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的(　　)
A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案为：B；
解析：若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|=2a(a>0，为常数)．
所以甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|=2a(a>0，为常数)，当2a>|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．
综上可知，甲是乙的必要不充分条件．
2．已知定点F1，F2，且|F1F2|=8，动点P满足|PF1|＋|PF2|=8，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　B．圆　　　C．直线　　　D．线段
答案为：D；
解析：因为|PF1|＋|PF2|=|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2.

讲一讲
2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点（2.5，-1.5），求它的标准方程；
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．
[尝试解答]　
(1)法一：∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋=1(a>b>0)．
由椭圆的定义知
2a= ＋ =2，
∴a=.又∵c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6.
∴所求椭圆的标准方程为＋=1.
法二：设标准方程为＋=1(a>b>0)．
依题意得解得
∴所求椭圆的标准方程为＋=1.
(2)法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋=1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴则∴所求椭圆的标准方程为＋y2=1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设所求椭圆的方程为＋=1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴则与a>b矛盾，故舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2=1.
法二：设椭圆方程为mx2＋ny2=1(m>0，n>0，m≠n)．
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴∴
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2=1.

求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．
练一练
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；
(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.



解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋=1(a>b>0)．
因为2a=＋=10，2c=6，所以a=5，c=3，
所以b2=a2－c2=52－32=16.
所以所求椭圆的标准方程为＋=1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋=1(a>b>0)．
因为2a=26，2c=10，
所以a=13，c=5.
所以b2=a2－c2=144.
所以所求椭圆的标准方程为＋=1.

讲一讲
3．已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
[尝试解答]
由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1=1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2=3.设圆P 的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所以|PM|＋|PN|=(R＋r1)＋(r2－R)=r1＋r2=4.
由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋=1(x≠－2)．

解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
(1)定义法：
用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(2)相关点法：
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．



练一练
4．如图，圆C：(x＋1)2＋y2=16及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．

解：由垂直平分线性质可知|MQ|=|MA|，∴|CM|＋|MA|=|CM|＋|MQ|=|CQ|.
∴|CM|＋|MA|=4.又|AC|=2，
∴M点的轨迹为椭圆．
由椭圆的定义知，a=2，c=1，∴b2=a2－c2=3.
∴所求轨迹方程为＋=1.

讲一讲
4．如图所示，P是椭圆＋=1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2=120°，求△PF1F2的面积．

[思考点拨]　由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1|，再代入三角形的面积公式求解．
[尝试解答]　
由已知a=2，b=，得c===1，|F1F2|=2c=2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2=|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2=|PF1|2＋4＋2|PF1|，　①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|=4，即|PF2|=4－|PF1|.　②
②代入①解得|PF1|=.
∴S△PF1F2=|PF1|·|F1F2|·sin 120°=××2×=.
即△PF1F2的面积是.


对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S=absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2=(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
练一练
5．将本讲中“∠PF1F2=120°”改为“∠F1PF2=60°”，求△PF1F2的面积．
解：由已知a=2，b=，
得c===1.
∴|F1F2|=2c=2，在△PF1F2中，
|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
即4=(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°.
∴4=16－3|PF1||PF2|.
∴|PF1||PF2|=4.
∴S△PF1F2=|PF1||PF2|·sin 60°
=×4×=.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题．
2．对椭圆定义的理解易忽视“2a>2c”这一条件，是本节课的易错点．
平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|=2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)椭圆标准方程的求法，见讲2.
(2)与椭圆有关的轨迹问题的求法，见讲3.
(3)与椭圆焦点有关的三角形问题，见讲4.





课时达标训练（一）
[即时达标对点练]
题组1　椭圆的标准方程
1．已知方程 ＋=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．(4，10) B．(7，10) C．(4，7) D．(4，＋∞)
答案为：B；
解析：由题意知解得7 2．已知椭圆 ＋=1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是(　　)
A.＋=1 B.＋=1 C．x2＋=1 D.＋=1
答案为：D；
解析：由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c=2，∴a2=2＋4=6，
因此椭圆方程为＋=1，故选D.
3．椭圆9x2＋16y2=144的焦点坐标为________．
答案为：(－，0)，(，0)
解析：椭圆的标准方程为＋=1，
∴a2=16，b2=9，c2=7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a=2b，则椭圆标准方程为______．
答案为：＋=1.
解析：∵c=2，a2=4b2，∴a2－b2=3b2=c2=12，b2=4，a2=16.
又∵焦点在y轴上，∴标准方程为＋=1.
题组2　与椭圆有关的轨迹问题
5．已知圆x2＋y2=1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是(　　)
A．4x2＋y2=1 B．x2＋=1 C.＋y2=1 D．x2＋=1
答案为：A；
解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x=，y=y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2=1上，∴x＋y=1.　①
将x0=2x，y0=y代入方程①，得4x2＋y2=1.
6．已知B，C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，
建立直角坐标系xOy，如图所示．

由|BC|=8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|=18，|BC|=8，得|AB|＋|AC|=10.
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10，c=4.
但点A不在x轴上．由a=5，c=4，得b2=a2－c2=25－16=9.
所以点A的轨迹方程为＋=1(y≠0)．
题组3　椭圆的定义及焦点三角形问题
7．椭圆的两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，
则椭圆方程为________．
答案为：＋=1
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2面积最大，

∴×8b=12，∴b=3， 又∵c=4，∴a2=b2＋c2=25.∴椭圆的标准方程为＋=1.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆
＋=1上．则=________．
答案为：
解析：由椭圆方程＋=1知，a=5，b=3，∴c=4，即点A(－4，0)和C(4，0)是椭圆的焦点．
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|=2a=10，且|AC|=8.
于是，在△ABC中，由正弦定理，得==.
9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求点P坐标．
解：(1)由题意知，2c=4，c=2，|PF1|＋|PF2|=2|F1F2|=8，即2a=8，∴a=4.
∴b2=a2－c2=16－4=12.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋=1.
(2)设点P坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|=2，∴|y0|=，y0=±.
代入椭圆方程＋=1，得x0=±2，
∴点P坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．
[能力提升综合练]
1．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|=a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
答案为：D；
解析：∵a＋≥2=6，当且仅当a=，即a=3时取等号，
∴当a=3时，|PF1|＋|PF2|=6=|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6=|F1F2|，点P的轨迹是椭圆．
2．椭圆＋y2=1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，
则△PF1F2的面积等于(　　)
A.　　　　 B. C. D．4
答案为：A；
解析：如图所示，

由定义可知，|PF1|＋|PF2|=2a=4，c==，又由PF1⊥F1F2，
可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2=1，得|y0|=，即|PF1|=，
所以S△PF1F2=|PF1|·|F1F2|=.
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|=2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋=1 B.＋=1或 ＋=1
C.＋=1 D.＋=1或 ＋=1
答案为：B；
解析：由已知2c=|F1F2|=2，∴c=.
∵2a=|PF1|＋|PF2|=2|F1F2|=4，∴a=2.∴b2=a2－c2=9.
故椭圆C的标准方程是＋=1或＋=1.
4．设F1，F2是椭圆C：＋=1的焦点，在曲线C上满足的点P的个数
为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
答案为：B；
解析：∵，∴PF1⊥PF2.
∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c==2.
∵b=2，∴点P为该椭圆y轴的两个端点．
5．F1，F2分别为椭圆＋=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是________．
答案为：2
解析：∵|OF2|=c，∴由已知得=，∴c2=4，c=2.
设点P的坐标为(x0，y0)，由△POF2为正三角形，
∴|x0|=1，|y0|=，代入椭圆方程得＋=1.
∵a2=b2＋4，∴b2＋3(b2＋4)=b2(b2＋4)，即b4=12，∴b2=2.
6．椭圆＋=1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．
答案为：4
解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|=10，知|MF2|=10－2=8.

又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|=|MF2|=4.
7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，
求椭圆的标准方程．
解：设所求椭圆的标准方程为＋=1(a>b>0)．设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，

∴(－4＋c)·(－4－c)＋32=0，∴c2=25，即c=5.即F1(－5，0)，F2(5，0)．
则2a=|AF1|＋|AF2|=＋=＋=4.
∴a=2，∴b2=a2－c2=(2)2－52=15.
故所求椭圆的标准方程为＋=1.
8．已知P是椭圆＋y2=1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2=60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|=4且F1(－，0)，F2(，0)．①

在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|=.
所以S△PF1F2=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，
得即(－－x，－y)·(－x，－y)<0.
又y2=1－，所以x2<2，解得－ 所以点P横坐标的范围是.
第2课时　椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质
焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准
方程


续表
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长=2b，长轴长=2a

焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|=2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率
e=(0 [问题思考]
(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
(2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？
提示：点(a，0)，(－a，0)与焦点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为a＋c和a－c．
(3)如何用a，b表示离心率？
提示：由e=得e2==，∴e= .∴e= .


讲一讲
1．求椭圆4x2＋9y2=36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[尝试解答]　
将椭圆方程变形为＋=1，∴a=3，b=2.∴c===.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a=6，2c=2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离心率e==.

解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
练一练
1．求椭圆m2x2＋4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解：椭圆的方程m2x2＋4m2y2=1(m>0)，可转化为＋=1.
∵m2<4m2，∴>，
∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a=，短半轴长b=，半焦距长c=.
∴椭圆的长轴长2a=，短轴长2b=，焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，.
离心率e===.




讲一讲
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)；
(2)离心率e=，焦距为12.
[尝试解答]　
(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋=1(a>b>0)，由题意得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2=1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋=1(a>b>0)，
由题意，得解得
故所求椭圆的标准方程为＋=1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2=1或＋=1.
(2)由e==，2c=12，得a=10，c=6，∴b2=a2－c2=64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋=1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋=1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋=1或＋=1.

(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．
(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍．
练一练
2．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，3)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设标准方程为＋=1(b>0)，
∵椭圆过点A(2，3)，∴＋=1，b2=10.
∴方程为＋=1.
若椭圆的焦点在y轴上．设椭圆方程为＋=1(b>0)，
∵椭圆过点A(2，3)，∴＋=1，b2=.∴方程为＋=1.
综上所述，椭圆的标准方程为＋=1或＋=1.
(2)由已知∴从而b2=9，
∴所求椭圆的标准方程为＋=1或＋=1.

讲一讲
3．已知椭圆＋=1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，
如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.
[尝试解答]　由A(－a，0)，B(0，b)，
得直线AB的斜率为kAB=，
故AB所在的直线方程为y－b=x，即bx－ay＋ab=0.
又F1(－c，0)，由点到直线的距离公式可得d==，
∴·(a－c)=.
又b2=a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2=0，
即8－14＋5=0.∴8e2－14e＋5=0.解得e=或e=(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率e=.

求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e=求解．若已知a，b或b，c，可借助于a2=b2＋c2求出c或a，再代入公式e=求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2=b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
练一练
3．如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．

解：由已知可设椭圆的标准方程为＋=1(a>b>0)，
则由题意可知P.
∵△PF1O∽△BOA，∴=.∴=，即b=c，
∴a2=2c2，∴e==.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率．
2．由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲1.
(2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲2.
(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲3.





课时达标训练（二）
[即时达标对点练]
题组1　由椭圆的标准方程研究几何性质
1．椭圆25x2＋9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是　　(　　)
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
答案为：B；
解析：把椭圆的方程写成标准方程为＋=1，知a=5，b=3，c=4.∴2a=10，2b=6，=0.8.
2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　)
A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±)
答案为：D；
解析：由题意知，其焦点在y轴上，且a=13，b=10，则c==.
3．已知椭圆＋=1与椭圆＋=1有相同的长轴，椭圆＋=1的短轴长与椭圆＋=1的短轴长相等，则(　　)
A．a2=25，b2=16 B．a2=9，b2=25
C．a2=25，b2=9或a2=9，b2=25 D．a2=25，b2=9
答案为：D；
解析：因为椭圆＋=1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋=1的短轴长为6，
所以a2=25，b2=9.
题组2　由椭圆的几何性质求标准方程
4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋=1 B.＋=1 C.＋=1 D.＋=1
答案为：A；
解析：因为2a=18，2c=×2a=6，所以a=9，c=3，b2=81－9=72.
5．已知椭圆＋=1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．5 C．7 D．8
答案为：D；
解析：由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是6 得m=8.
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.则椭圆G的方程为________________．
答案为：＋=1
解析：依题意可设椭圆G的方程为＋=1，a>b>0，半焦距为c，
∵椭圆G的离心为率为，∴=⇒c=a.
∵椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，∴2a=12⇒a=6.
∴c=3，b==3，∴椭圆G的方程为＋=1.
题组3　椭圆的离心率
7．椭圆x2＋4y2=4的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案为：A；
解析：化为标准方程为＋y2=1，a2=4，b2=1，c2=3，∴e==.
8．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案为：C；
解析：由题意，得或
当a－c=9时，由b2=9得a2－c2=9=(a－c)(a＋c)，a＋c=1，则a=5，c=－4(不合题意)．
当a＋c=9时，解得故e=.
9．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
解：如图，连接BF2.

∵△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，∴F2B⊥AF1.
又∵∠BF2F1=30°，|F1F2|=2c，∴|BF1|=c，|BF2|=c，
根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|=2a，即c＋c=2a，∴=－1.∴椭圆的离心率e为－1.
[能力提升综合练]
1．椭圆x2＋my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是(　　)
A. B. C．2 D．4
答案为：A；
解析：由题意可得2=2×2，解得m=.
2．过椭圆＋=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，
若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案为：B；
解析：记|F1F2|=2c，则由题设条件，知|PF1|=，|PF2|=，
则椭圆的离心率e====.
3．已知椭圆＋=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，
直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案为：D；
解析：
又∵PO∥BF，∴==，即=，∴e==.
4．与椭圆9x2＋4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________．
答案为：＋=1
解析：椭圆9x2＋4y2=36可化为＋=1，因此可设待求椭圆为＋=1.
又b=2，故m=20，得＋=1.
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方程为________．
答案为：＋=1
解析：∵e==，∴==，∴5a2－5b2=a2即4a2=5b2.
设椭圆的标准方程为＋=1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5，4)，∴＋=1.解得a2=45.∴椭圆方程为＋=1.
6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案为：（0，）.
解析：设椭圆方程为＋=1(a>b>0)．
因为，所以MF1⊥MF2，
所以点M的轨迹是以O为圆心，c为半径的圆．
因为点M总在椭圆内部，所以c 所以2c2 7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点，求椭圆的标准方程．
解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋=1(a>b>0).
将点M，N代入上式，
得解得此时椭圆的标准方程为＋=1.
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋=1(a>b>0)．
将点M，N代入上式得解得
因为a>b>0，所以舍去，所以椭圆的标准方程为＋=1.
8．已知椭圆x2＋(m＋3)y2=m(m>0)的离心率e=，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋=1，
由m>0，易知m>，∴a2=m，b2=.
∴c== .
由e=，得 =，解得m=1，
∴椭圆的标准方程为x2＋=1.∴a=1，b=，c=.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.














第3课时　直线与椭圆的位置关系(习题课)


[思考1]　判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？
名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d=r⇔相切；d>r⇔相离；d (2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．
[思考2]　能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．
[思考3]　已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
△>0⇔直线与椭圆相交；△=0⇔直线与椭圆相切；△<0⇔直线与椭圆相离．
讲一讲
1．已知椭圆4x2＋y2=1及直线y=x＋m.问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．
[尝试解答]　将y=x＋m代入4x2＋y2=1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1=0.
△=4m2－20(m2－1)=20－16m2.
当△=0时，得m=±，直线与椭圆相切；
当△>0时，得－ 当△<0时，得m<－或m>，直线与椭圆相离．

判断直线与椭圆的位置关系的方法


练一练
1．若直线y=kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 ＋=1总有公共点，求m的取值范围．
解：由消去y，整理得
(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)=0，
所以△=100k2－20(m＋5k2)(1－m)=20m(5k2＋m－1)，
因为直线与椭圆总有公共点，所以△≥0对任意k∈R都成立，
因为m>0，所以5k2≥1－m恒成立，
所以1－m≤0，即m≥1.
又因为椭圆的焦点在x轴上，所以0 综上，1≤m<5，即m的取值范围是[1，5)．

[思考1]　若直线l与圆C相交于点A，B，如何求弦长|AB|?
名师指津：
(1)利用r2=d2＋求解；
(2)利用两点间的距离公式求解；
(3)利用弦长公式|AB|=|x1－x2|求解．
[思考2]　若直线l：y=kx＋m与椭圆＋=1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
如何求|AB|的值？
名师指津：|AB|=|x1－x2|．

讲一讲
2．已知椭圆＋=1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
[尝试解答]　
(1)由已知可得直线l的方程为y－2=(x－4)，即y=x.
由可得x2－18=0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2=0，x1x2=－18.
于是|AB|=
=
=
=×6=3.
所以线段AB的长度为3.
(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2=k(x－4)．
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)=0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，所以==4，
解得k=－，且满足△>0.
这时直线的方程为y－2=－(x－4)，即y=－x＋4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有两式相减得＋=0，
整理得kAB==－，
由于P(4，2)是AB的中点，∴x1＋x2=8，y1＋y2=4，
于是kAB=－=－，于是直线AB的方程为y－2=－(x－4)，
即y=－x＋4.






(1)弦长公式
设直线方程为y=kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋=1(a>b>0)或＋=1(a>b>0)，
直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|=，
所以|AB|=
=·
=·，
或|AB|=
=·
=·.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．
(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
　②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋=1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)=0，变形得=－·=－·，
即kAB=－.







练一练
2．直线y=x＋1被椭圆＋=1所截得线段的中点的坐标是(　　)
A.　　　　B. C. D.
答案为：C；
解析：联立方程组消去y得3x2＋4x－2=0.
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
∴x1＋x2=－，x0==－，y0=x0＋1=.
∴所求中点的坐标为.
3．椭圆＋=1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8=0相交于P，Q，且|PQ|=，求椭圆方程．
解：∵e=，∴b2=a2.∴椭圆方程为x2＋4y2=a2.
与x＋2y＋8=0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2=0，
由△>0得a2>32，由弦长公式得10=×[64－2(64－a2)]．∴a2=36，b2=9.
∴椭圆方程为＋=1.

讲一讲
3．已知椭圆＋=1的离心率e=.
(1)若=3，求椭圆方程；
(2)直线l过点C(－1，0)交椭圆于A、B两点，且满足：，试求△OAB面积的最大值．
[尝试解答]　
(1)由题意知解得a=，c=.
所以a2=3，b2=1，所以椭圆方程为＋y2=1.
(2)由e==，及a2=b2＋c2，得a2=3b2，可设椭圆的方程为＋=1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2),
由题意知直线l的斜率存在，则设l的方程为y=k(x＋1)，
由得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2=0，且△=12(3b2－1)k2＋12b2，
因为直线l交椭圆于A、B两点，且，
所以点C在椭圆内部，所以a>1，
所以3b2>1，所以△>0.所以x1＋x2=.
因为，所以(x1＋1，y1)=3(－1－x2，－y2)，所以x1=－4－3x2，
所以x2＋1=－，所以|x1－x2|=.
又O到直线l的距离为d=，
所以S△ABO=|AB|d=|x1－x2|·d==≤，
所以当且仅当3|k|=，即k=±时，S△ABO取得最大值.

解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
练一练
4．在椭圆＋=1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16=0的距离最短，并求出最短距离．
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y=x＋m，

代入＋=1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7=0，
△=9m2－16(m2－7)=0⇒m2=16⇒m=±4，
故两切线方程为y=x＋4和y=x－4，显然y=x－4距l最近，
d==，切点为P.
课时达标训练（三）
[即时达标对点练]
题组1　直线与椭圆的位置关系
1．直线y=kx＋1与椭圆＋=1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
答案为：A；
解析：因为直线y=kx＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆＋=1的内部，
故直线y=kx＋1与椭圆＋=1相交．
2．直线y=x＋2与椭圆＋=1有两个公共点，则m的取值范围是________．
答案为：(1，3)∪(3，＋∞)
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m=0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴△=(4m)2－4m(m＋3)=16 m2－4m2－12m=12m2－12m>0，解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
题组2　直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆＋=1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|=8，
则|AF1|＋|BF1|的值为(　　)
A．10 B．12 C．16 D．18
答案为：B；
解析：∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|=4a，∴|AF1|＋|BF1|=4×5－8=12.
4．椭圆x2＋4y2=16被直线y=x＋1截得的弦长为________．
答案为：
解析：由消去y并化简得x2＋2x－6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2=－2，x1x2=－6.
∴弦长|MN|=|x1－x2|= = =.
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y=3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
解：设所求椭圆的方程为＋=1(a>b>0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋=1及y=3x－2得(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)=0，
x1＋x2=，由已知=，即=1，
所以a2=3b2.又c2=a2－b2=50，所以得a2=75，b2=25，
所以椭圆的方程为＋=1.
题组3　与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P(x，y)在椭圆＋=1上，若A点坐标为(3，0)，||=1，且=0，则||的最小值是________．
答案为：
解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．

7．若点O和点F分别为椭圆＋=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，
则的最大值为________．
答案为：6
解析：由＋=1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，
则=x2＋x＋y2=x2＋x＋3=x2＋x＋3=(x＋2)2＋2，
当且仅当x=2时，取得最大值6.
8．如图，点A是椭圆C：＋=1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，

(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP=45°，

(1)∵P(0，1)，

即b=2，且B(3，1)．
∵B在椭圆上，∴＋=1，得a2=12，
∴椭圆C的标准方程为＋=1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3=－b，即b=3－t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，
＋=1，解得a2=.
∵a2>b2>0，
∴>(3－t)2>0.
∴>1，即－1=>0，
∴所求t的取值范围是.




[能力提升综合练]
1．若直线mx＋ny=4和⊙O：x2＋y2=4没有交点，则过(m，n)的直线与椭圆＋=1的交点个数(　　)
A．至多一个　　　 B．2个 C．1个 D．0个
答案为：B；解析：因为直线mx＋ny=4和⊙O：x2＋y2=4没有交点，
所以>2，即m2＋n2<4，所以n2<4－m2，
则＋<＋=1－m2<1.所以点(m，n)在椭圆＋=1内部，
故过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2=24上，则2m＋4的取值范围是(　　)
A．[4－2，4＋2] B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2 ] D．[4－，4＋]
答案为：A；
解析：方程可化为＋=1，故椭圆焦点在y轴上，又a=2，b=，
所以－≤m≤，故4－2≤2m＋4≤2＋4.
3．已知椭圆C：＋y2=1的右焦点为F，直线l：x=2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若=(　　)
A. B．2 C. D．3
答案为：A；
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2=1知a2=2，b2=1，
∴c2=1，即c=1.∴右焦点F(1，0)．
∴1=3(x0－1)且n=3y0.∴x0=，y0=n.
将x0，y0代入＋y2=1，得×＋=1.解得n2=1，
∴||===.
4．椭圆Γ：＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
答案为：－1
解析：直线y=(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2=60°，
从而∠MF2F1=30°，所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中，|MF1|=c，|MF2|=c，所以该椭圆的离心率e===－1.
5．已知椭圆G：＋y2=1，过点(0，2)作圆x2＋y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)O为坐标原点，求△OAB的面积．
解：(1)由已知得a=2，b=1，所以c==.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e==.
(2)设l的方程为y=kx＋2，即kx－y＋2=0，
由l与圆x2＋y2=1相切得=1，解得k=±.
将y=±x＋2代入x2＋4y2－4=0，得13x2±16x＋12=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=，
|AB|=2=2=2=.
又O到AB的距离d=1.
∴S△OAB=×|AB|×1=.
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2=0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y=x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．
解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y2=1，则右焦点F(，0)．
由题设=3，解得a2=3，
故所求椭圆的方程为＋y2=1.
(2)设P为弦MN的中点，
由得4x2＋6mx＋3m2－3=0.
由于直线与椭圆有两个交点，所以△>0，即－2 所以xP==－，从而yP=xP＋m=，所以kAP==，
又|AM|=|AN|，所以AP⊥MN，所以=－1，解得m=2，
所以不存在实数m使|AM|=|AN|.