高中数学3.2导数的计算课时作业

3.3.2　函数的极值与导数

课时目标　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

1．若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________．

我们把点a叫做函数y＝f(x)的____________，f(a)叫做函数y＝f(x)的__________；点b叫做函数y＝f(x)的________________，f(b)叫做函数y＝f(x)的__________．极小值点、极大值点统称为__________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在____________________的大小情况，刻画的是函数的________性质．

2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．

3．一般地，求可导函数f(x)的极值的方法是：

解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是__________；

(2)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是__________；

(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)____________．

一、选择题

1. 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)(　　)

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

2．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则(　　)

A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0

B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0

C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0

D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0

3．函数f(x)＝x＋在x>0时有(　　)

A．极小值

B．极大值

C．既有极大值又有极小值

D．极值不存在

4．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

A．1个         B．2个         C．3个        D．4个

5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则(　　)

A．0<b<1       B．b<1         C．b>0        D．b<

6．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)

A．－1<a<2                    B．－3<a<2

C．a<－1或a>2                D．a<－3或a>6

二、填空题

7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝______.

8．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.

9．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．

三、解答题

10．求下列函数的极值．

(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝xe－x.

11．设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.

(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；

(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

能力提升

12．已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a<b)．

(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.

证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.

1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．

2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．

3．3.2　函数的极值与导数

答案

知识梳理

1．f′(x)<0　f′(x)>0　f′(x)>0　f′(x)<0　极小值点　极小值　极大值点　极大值　极值点　极值　某一点附近　局部

2．导数为零　不一定

3．(1)f′(x)>0　f′(x)<0　极大值　(2)f′(x)<0　f′(x)>0　极小值　(3)不是极值

作业设计

1．C

2．C　[∵f(x)在x＝1处存在极小值，

∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0.]

3．A　[∵f′(x)＝1－，由f′(x)>0，

得x>1或x<－1，又∵x>0，∴x>1.

由得0<x<1，即在(0,1)内f′(x)<0，

在(1，＋∞)内f′(x)>0，

∴f(x)在(0，＋∞)上有极小值．]

4．A　[f(x)的极小值点左边有f′(x)<0，极小值点右边有f′(x)>0，因此由f′(x)的图象知只有1个极小值点．]

5．A　[f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则，即，

解得0<b<1.]

6．D　[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，

∴f′(x)的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a2－12(a＋6)>0时，图象与x轴的左交点两侧f′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f′(x)的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．

∴4a2－12(a＋6)>0得a>6或a<－3.]

7．3

解析　f′(x)＝＝.

∵f′(1)＝0，∴＝0，∴a＝3.

8．1　－3

解析　因为f′(x)＝3ax2＋b，

所以f′(1)＝3a＋b＝0.                                  ①

又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.                    ②

由①②解得a＝1，b＝－3.

9.

解析　∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴f′(x)>0时得：x>a或x<－a，f′(x)<0时，得－a<x<a.

∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．

由题意得：解得a>.

10．解　(1)函数f(x)的定义域为R.

f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；

当x＝2时，函数f(x)有极小值，

且f(2)＝23－12×2＝－16.

(2)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝.

11．解　(1)f′(x)＝3x2－9x＋6.

因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，

即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，

所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，

即m的最大值为－.

(2)因为当x<1时，f′(x)>0；

当1<x<2时，f′(x)<0；

当x>2时，f′(x)>0.

所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；

当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，

故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．

解得a<2或a>.

12．(1)解　当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)，

因为f′(x)＝(x－1)(3x－5)，

故f′(2)＝1，又f(2)＝0，

所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.

(2)证明　因为f′(x)＝3(x－a)(x－)，

由于a<b，故a<，

所以f(x)的两个极值点为x＝a，x＝.

不妨设x1＝a，x2＝，

因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的零点，

故x3＝b.

又因为－a＝2(b－)，

x4＝(a＋)＝，

此时a，，，b依次成等差数列，

所以存在实数x4满足题意，且x4＝.