人教版新课标A3.2导数的计算练习题

§3.2导数的计算

3.2.1　几个常用函数的导数

3.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

课时目标　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

1．函数y＝f(x)＝c的导数为____________，它表示函数y＝c图象上每一点处，切线的斜率为0.若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y＝f(x)＝x的导数为__________，它表示函数y＝x图象上每一点处切线的斜率为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．

2．常见基本初等函数的导数公式：

(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝______；

(2)若f(x)＝xα (α∈Q*)，则f′(x)＝________；

(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝________；

(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝________；

(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝________ (a>0)；

(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝________；

(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝________ (a>0，且a≠1)；

(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝________.

一、选择题

1．下列结论不正确的是(　　)

A．若y＝3，则y′＝0

B．若y＝，则y′＝－

C．若y＝－，则y′＝－

D．若y＝3x，则y′＝3

2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；②′＝cos ；③若y＝，则y′|x＝3＝－.其中正确的有(　　)

A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个

3．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)

A.          B．－      C．－e      D．e

4．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)

A．∪               B．[0，π)

C．                       D．∪

5．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　)

A．(－2，－8)                   B．(－1，－1)或(1,1)

C．(2,8)                         D．

6．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　)

A．                    B．

C．                   D．

二、填空题

7．曲线y＝cos x在点A处的切线方程为__________________________．

8．已知f(x)＝xa，a∈Q，若f′(－1)＝－4，则a＝

________________________________________________________________________.

9．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________.

三、解答题

10．求下列函数的导数：

(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝10x.

11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．

能力提升

12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．

13．求过曲线y＝ex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．

1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．

2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．

3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．

§3.2　导数的计算

3．2.1　几个常用函数的导数

3．2.2　基本初等函数的导数公式及

导数的运算法则(一)

知识梳理

1．y′＝0　瞬时速度　静止　y′＝1　瞬时速度　匀速直线

2．(1)0　(2)αxα－1　(3)cos x　(4)－sin x

(5)axln a　(6)ex　(7)　(8)

作业设计

1．B　[y′＝′＝(x－)′＝－x－＝－.]

2．B　[直接利用导数公式．

因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；

sin ＝，而′＝0，所以②错误；

′＝(x－2)′＝－2x－3，则y′|x＝3＝－，

所以③正确．]

3．D　[设切点为(x0，y0)．由y′＝ex，

得y′|x＝x0＝ex0，

∴过切点的切线为y－ex0＝ex0(x－x0)，

即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，又y＝kx是切线，

∴　∴]

4．A　[∵y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．

∴直线l的斜率的范围是[－1,1]，

∴直线l倾斜角的范围是∪.]

5．B　[y′＝3x2，∵k＝3，

∴3x2＝3，∴x＝±1，

则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]

6．B　[s′＝t－.

当t＝4时，s′＝·＝.]

7．x＋2y－－＝0

解析　∵y′＝(cos x)′＝－sin x，

∴y′|x＝＝－sin ＝－，

∴在点A处的切线方程为y－＝－，

即x＋2y－－＝0.

8．4

解析　∵f′(x)＝axa－1，

∴f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.

9．2x

解析　∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，

∴f(x)＝x2，f′(x)＝2x.

10．解　(1)y′＝(x12)′＝12x11.

(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.

(3)y′＝()′＝(x)′＝x－＝.

(4)y′＝(10x)′＝10xln 10.

11．解　点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.

当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；

当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，

即27x－y－54＝0.

综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.

12．－2

解析　y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，

得x＝.

an＝lg xn＝lg＝lg n－lg(n＋1)，

则a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.

13．解　∵y′＝ex，∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e，

∴过点P且与切线垂直的直线的斜率k＝－，

∴所求直线方程为y－e＝－(x－1)，

即x＋ey－e2－1＝0.