高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆教学设计

这是一份高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆教学设计，共6页。


[时间：45分钟 分值：100分]

eq \a\vs4\al\c1(基础热身)
1．[2011·长沙四县调研] 已知△ABC的顶点B、C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．6
C．4eq \r(3) D．12
2．[2011·济宁一模] 椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )
A．±eq \f(\r(3),4) B．±eq \f(\r(3),2)
C．±eq \f(\r(2),2) D．±eq \f(3,4)
3．[2011·临沂一模] 设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M、N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
4．过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
eq \a\vs4\al\c1(能力提升)
5．条件p：动点M到两定点距离的和等于定长，条件q：动点M的轨迹是椭圆，条件p是条件q的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分又不必要条件
6．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A.eq \f(\r(3)－1,2) B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(1＋\r(5),4) D.eq \f(\r(3)＋1,4)
7．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．相离 D．无法确定
8．[2011·沈阳二中模拟] 椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上，eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，则M到y轴的距离为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(2\r(6),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
9．已知M是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，左、右焦点为F1，F2，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于N，则eq \f(|MP|,|PN|)的值为( )
A.eq \f(a,\r(a2－b2))
B.eq \f(b,\r(a2－b2))
C.eq \f(\r(a2－b2),b)
D.eq \f(\r(a2－b2),a)
10．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
11．[2011·济宁一模] 以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于________．
12．已知F1、F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
13．[2011·吉林一中期末] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A、B两点．若eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则k＝________.
14．(10分)已知在点A，B分别是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．
15．(13分)已知平面内曲线C上的动点到定点(eq \r(2)，0)和定直线x＝2eq \r(2)的比等于eq \f(\r(2),2).
(1)求该曲线C的方程；
(2)设动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋2eq \(ON,\s\up6(→))，其中M，N是曲线C上的点．直线OM与ON的斜率之积为－eq \f(1,2).问：是否存在两个定点F1、F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1、F2的坐标；若不存在，说明理由．
eq \a\vs4\al\c1(难点突破)
16．(12分)已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(\r(2),2)，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为eq \r(2).
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线l与椭圆相交于P，Q两点，O为原点，且eq \(OP,\s\up6(→))⊥eq \(OQ,\s\up6(→)).试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
课时作业(四十八)
【基础热身】
1．C [解析] 根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4eq \r(3).
2．A [解析] 不妨设F1(－3,0)，设P(x0，y0)，则－3＋x0＝0，故x0＝3，代入椭圆方程得y0＝±eq \f(\r(3),2)，故点M的纵坐标是±eq \f(\r(3),4).
3．C [解析] 由题意得最大值2a＋2、最小值2a－2，a＝5，故最大值是12、最小值是8.
4．B [解析] 因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，±\f(b2,a)))，再由∠F1PF2＝60°有eq \f(3b2,a)＝2a，从而可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
【能力提升】
5．B [解析] 设两定点距离2c，定长为2a.当2a>2c时，为椭圆；当2a＝2c时，为线段；当2a<2c时，无轨迹．故动点M到两定点距离的和等于定长时，动点M的轨迹不一定是椭圆；当动点M的轨迹是椭圆时，动点M到两定点距离的和一定等于定长．
6．B [解析] 根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(－1±\r(5),2)，故所求的椭圆的离心率为eq \f(\r(5)－1,2).
7．A [解析] 如图，设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连接O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在△PF1F2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO1|＝eq \f(1,2)|PF2|＝eq \f(1,2)(2a－|PF1|)＝a－eq \f(1,2)|PF1|＝R－r.
8．B [解析] 条件eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，说明点M在以线段F1F2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组即可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离．椭圆的焦点坐标是(±eq \r(3)，0)，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆方程得eq \f(x2,4)＋3－x2＝1，解得x2＝eq \f(8,3)，即|x|＝eq \f(2\r(6),3)，即点M到y轴的距离．
9．A [解析] 由于三角形内心是三个内角的平分线的交点，使用三角形内角平分线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系．如图，连接PF1，PF2.在△MF1F2中，F1P是∠MF1N的平分线，根据三角形内角平分线性质定理，eq \f(|MP|,|PN|)＝eq \f(|MF1|,|F1N|)，同理可得eq \f(|MP|,|PN|)＝eq \f(|MF2|,|F2N|)，故有eq \f(|MP|,|PN|)＝eq \f(|MF1|,|F1N|)＝eq \f(|MF2|,|F2N|)，根据等比定理eq \f(|MP|,|PN|)＝eq \f(|MF1|＋|MF2|,|F1N|＋|F2N|)＝eq \f(2a,2\r(a2－b2))＝eq \f(a,\r(a2－b2)).
10.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 [解析] 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，得c＝3eq \r(3)，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1.
11.eq \r(3)－1 [解析] 如图所示，设A，B是椭圆的两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，△PAB是一个直角三角形，且∠BAP＝30°，所以AP＝ABcs30°＝eq \r(3)c，BP＝c，根据椭圆定义AP＋BP＝2a，故eq \r(3)c＋c＝2a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.
12．3 [解析] 方法1.设椭圆的焦点坐标为(±c,0)，根据椭圆定义和△PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|·|PF2|＝18，,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.))第一式两端平方并把第二、三两式代入可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，即b2＝9，即b＝3.
方法2.利用本讲【问题思考】问题4的结论，b2taneq \f(90°,2)＝9，解得b＝3.
13.eq \r(2) [解析] 根据已知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，可得a2＝eq \f(4,3)c2，则b2＝eq \f(1,3)c2，故椭圆方程为eq \f(3x2,4c2)＋eq \f(3y2,c2)＝1，即3x2＋12y2－4c2＝0.设直线的方程为x＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－eq \f(2cm,m2＋4)，y1y2＝－eq \f(c2,3m2＋4)，把－y1＝3y2代入得，y2＝eq \f(cm,m2＋4)，－3yeq \\al(2,2)＝－eq \f(c2,3m2＋4)，故9m2＝m2＋4，故m2＝eq \f(1,2)，从而k2＝2，k＝±eq \r(2).又k>0，故k＝eq \r(2).
14．[解答] (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，
设点P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq \(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，
由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋6x－4＋y2＝0，))
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq \f(3,2)或－6，由于y>0，
故x＝eq \f(3,2)，于是y＝eq \f(5\r(3),2)，
∴点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5\r(3),2))).
(2)由(1)得直线AP的方程是x－eq \r(3)y＋6＝0，设点M(m,0)，
则M到直线AP的距离是eq \f(|m＋6|,2)，于是eq \f(|m＋6|,2)＝6－m，
又－6≤m≤6，解得m＝2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq \f(5,9)x2＝eq \f(4,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)))2＋15，由于－6≤x≤6，∴当x＝eq \f(9,2)时，d取得最小值eq \r(15).
15．[解答] (1)设曲线C上动点的坐标为(x，y)，根据已知得eq \f(\r(x－\r(2)2＋y2),|x－2\r(2)|)＝eq \f(\r(2),2)，化简整理这个方程得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，即为曲线C的方程．
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋2eq \(ON,\s\up6(→))得
(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)，
即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，
因为点M，N在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1上，
所以xeq \\al(2,1)＋2yeq \\al(2,1)＝4，xeq \\al(2,2)＋2yeq \\al(2,2)＝4，
故x2＋2y2＝(xeq \\al(2,1)＋4xeq \\al(2,2)＋4x1x2)＋2(yeq \\al(2,1)＋4yeq \\al(2,2)＋4y1y2)
＝(xeq \\al(2,1)＋2yeq \\al(2,1))＋4(xeq \\al(2,2)＋2yeq \\al(2,2))＋4(x1x2＋2y1y2)
＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，
kOM·kON＝eq \f(y1y2,x1x2)＝－eq \f(1,2)，因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20，
所以P点是椭圆eq \f(x2,2\r(5)2)＋eq \f(y2,\r(10)2)＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，则由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|为定值，又因为c＝eq \r(2\r(5)2－\r(10)2)＝eq \r(10)，因此两焦点的坐标分别为F1(－eq \r(10)，0)、F2(eq \r(10)，0)．
【难点突破】
16．[解答] (1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因为e＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，据题意eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(\r(2),2)))在椭圆上，则eq \f(c2,a2)＋eq \f(\f(1,2),b2)＝1，于是eq \f(1,2)＋eq \f(\f(1,2),b2)＝1，解得b＝1，因为a＝eq \r(2)c，a2－c2＝b2＝1，则c＝1，a＝eq \r(2)，
故椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，所以x1＋x2＝－eq \f(4km,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(2m2－2,2k2＋1)，
于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·eq \f(2m2－2,2k2＋1)＋km·eq \f(－4km,2k2＋1)＋m2＝eq \f(m2－2k2,2k2＋1).
因为eq \(OP,\s\up6(→))⊥eq \(OQ,\s\up6(→))，所以x1x2＋y1y2＝eq \f(2m2－2,2k2＋1)＋eq \f(m2－2k2,2k2＋1)＝eq \f(3m2－2k2－2,2k2＋1)＝0，即3m2－2k2－2＝0，所以m2＝eq \f(2k2＋2,3).
设原点O到直线l的距离为d，则d＝eq \f(|m|,\r(k2＋1))＝eq \r(\f(m2,k2＋1))＝eq \r(\f(\f(2k2＋2,3),k2＋1))＝eq \f(\r(6),3).
当直线l的斜率不存在时，因为eq \(OP,\s\up6(→))⊥eq \(OQ,\s\up6(→))，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP，OQ的方程分别为y＝x，y＝－x可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\f(\r(6),3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，－\f(\r(6),3)))或者Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)，－\f(\r(6),3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)，\f(\r(6),3))).此时，原点O到直线l的距离仍为eq \f(\r(6),3).
综上分析，点O到直线l的距离为定值eq \f(\r(6),3).