高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试精品复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试精品复习练习题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间:120分钟 满分:150分)


一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)





1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=( )


A.(-2,-1)B.(2,1)


C.(3,-1)D.(-3,1)


答案A


解析∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,∴x=-4.


∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).


2.在△ABC中,若A=60°,BC=43,AC=42,则角B的大小为( )


A.30°B.45°


C.135°D.45°或135°


答案B


解析由正弦定理,得BCsinA=ACsinB,则sin B=ACsinABC=42sin60°43=22.因为BC>AC,所以A>B,而A=60°,所以B=45°.


3.(2018全国Ⅱ高考)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )


A.4B.3C.2D.0


答案B


解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.


4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为( )


A.33B.233C.3D.23


答案C


解析将c2=a2+b2-2abcs C与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故S△ABC=12absin C=3.


5.在△ABC中,若其面积为S,且AB·AC=23S,则角A的大小为( )


A.30°B.60°C.120°D.150°


答案A


解析因为S=12AB·AC·sin A,而AB·AC=AB·AC·cs A,所以AB·AC·cs A=23×12AB·AC·sin A,所以tan A=33,故A=30°.


6.(2018全国Ⅰ高考)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=( )


A.34AB-14ACB.14AB-34AC


C.34AB+14ACD.14AB+34AC


答案A





解析如图,EB=-BE


=-12(BA+BD)


=12AB-14BC


=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.


7.在△ABC中,AB=3,AC=2,若O为△ABC内部的一点,且满足OA+OB+OC=0,则AO·BC=( )


A.12B.25C.13D.14


答案C


解析由OA+OB+OC=0可知O为△ABC的重心,于是AO·BC=13(AB+AC)·(AC-AB)=13(AC2-AB2)=13.


8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=7,C=π3,则△ABC的面积是( )


A.334B.736


C.213D.334或736


答案D


解析∵sin(B+A)=sin Bcs A+cs Bsin A,sin(B-A)=sin Bcs A-cs Bsin A,sin 2A=2sin Acs A,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,∴2sin Bcs A=6sin Acs A.当cs A=0时,A=π2,B=π6.又c=7,所以b=213.由三角形的面积公式,得S=12bc=736;当cs A≠0时,由2sin Bcs A=6sin Acs A,得sin B=3sin A.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cs C=a2+b2-c22ab=a2+9a2-76a2=csπ3=12,解得a=1,b=3,所以此时△ABC的面积为S=12absin C=334.综上可得△ABC的面积为736或334,故选D.


二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)


9.下列说法错误的是( )


A.AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线


B.长度相等的向量叫相等向量


C.零向量的长度等于0


D.共线向量是在同一条直线上的向量


答案ABD


解析AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况,故A项错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B项错;按定义,零向量的长度等于0,故C项正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D项错.


10.(2019山东济南高一期末)对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是( )


A.若a∥b且b∥c,则a∥c


B.(a+b)·c=a·c+b·c


C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c


D.(a·b)·c=a·(b·c)


答案ACD





解析对于A,b=0,命题不成立;对于B,这是平面向量数乘的分配律,显然成立;对于C,若a和b,c都垂直,显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以命题不成立;对于D,如图,若a=AB,b=AC,c=AD,则(a·b)·c与a·(b·c)是一个分别和c,a共线的向量,显然命题(a·b)·c=a·(b·c)不成立.故选ACD.


11.(2019福建厦门外国语学校高一月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是( )


A.若acsA=bcsB=ccsC,则△ABC一定是等边三角形


B.若acs A=bcs B,则△ABC一定是等腰三角形


C.若bcs C+ccs B=b,则△ABC一定是等腰三角形


D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形


答案AC


解析由acsA=bcsB=ccsC,


利用正弦定理可得sinAcsA=sinBcsB=sinCcsC,


即tan A=tan B=tan C,即A=B=C,


所以△ABC是等边三角形,A正确;


由正弦定理可得sin Acs A=sin Bcs B,


即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,


△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;


由正弦定理可得sin Bcs C+sin Ccs B=sin B,


即sin (B+C)=sin B,即sin A=sin B,


则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;


由余弦定理可得cs C=a2+b2-c22ab>0,C为锐角,A,B不一定是锐角,D不正确,故选AC.


12.(2019山东烟台高一期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )


A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6


B.△ABC是钝角三角形


C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍


D.若c=6,则△ABC外接圆半径为877


答案ACD


解析因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正确;由上可知:c边最大,所以三角形中C角最大,


又cs C=a2+b2-c22ab=(4x)2+(5x)2-(6x)22×4x×5x=18>0,所以C角为锐角,所以B错误;


由上可知a边最小,所以三角形中A角最小,


又cs A=c2+b2-a22cb=(6x)2+(5x)2-(4x)22×6x×5x=34,


所以cs 2A=2cs2A-1=18,所以cs 2A=cs C.


由三角形中C角最大且C角为锐角可得:2A∈(0,π),C∈0,π2,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=csinC,又sin C=1-cs2C=378,所以2R=6378,解得R=877,所以D正确.故选ACD.


三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)


13.(2019全国Ⅲ高考)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cs=.


答案23


解析∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-5b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-45a·b=9,


∴|c|=3.又a·c=2|a|2-5a·b=2,


∴cs=a·c|a|·|c|=21×3=23.


14.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,c=2,B=60°,则b= ,C= .


答案23 30°


解析在△ABC中,因为a=4,c=2,B=60°,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accs B=42+22-2×4×2cs 60°=12,所以b=23,又由正弦定理,得sin C=csinBb=2sin60°23=12,又由c