高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用优秀巩固练习

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1　平面

课后篇巩固提升

基础巩固

1.空间中可以确定一个平面的条件是(　　)

A.三个点 B.四个点

C.三角形 D.四边形

答案C

解析当三个点共线时不能确定一个平面,故选项A错误;当四个点为三棱锥的四个顶点时,最多确定四个平面,故选项B错误;三角形的三个顶点不共线,因此能确定一个平面,故选项C正确;空间四边形不能确定一个平面,故选项D错误.

2.圆心和圆上任意两点可确定的平面有(　　)

A.0个 B.1个

C.2个 D.1个或无数个

答案D

解析若圆心和圆上两点共线,则可确定无数个平面;若三点不共线,则确定一个平面.

3.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是(　　)

A.l⊂α B.l∈α

C.l∩α=A D.l∩α=B

答案A

解析由基本事实2或画图可知:l⊂α.

4.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(　　)

A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β

B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN

C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A

D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合

答案C

解析两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.

5.空间中A,B,C,D,E五点不共面,已知A,B,C,D在同一平面内,B,C,D,E在同一平面内,那么B,C,D三点 (　　)

A.一定构成三角形 B.一定共线

C.不一定共线 D.与A,E共面

答案B

解析设平面ABCD为α,平面BCDE为β,且A,B,C,D,E不共面,则BC⊂α,CD⊂α,BC⊂β,CD⊂β,则α,β必相交于直线l,且B∈l,C∈l,D∈l,故B,C,D三点一定共线且位于平面ABCD与平面BCDE的交线上.

6.平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C∉l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=(　　)

A.直线AC B.直线BC

C.直线CR D.以上都不对

答案C

解析根据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.

7.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩HG=P,则点P(　　)

A.一定在直线BD上

B.一定在直线AC上

C.在直线AC或BD上

D.不在直线AC上,也不在直线BD上

答案B

解析如图,

∵EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.

又平面ABC∩平面ACD=AC,

∴P∈AC,故选B.

8.三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定　　　　　个平面. 

答案3

解析当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面;

当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面.

9.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　　. 

答案共线

解析如图,∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.

∵l∩α=O,∴O∈α.又O∈AB⊂β,∴O∈直线CD,

∴O,C,D三点共线.

10.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.

证明∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF.

又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,

∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.

同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,

∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.

11.

如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.

求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.

分析先证其中两条直线共面且交于一点,再证这点也在第三条直线上.

证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,

所以AA',BB'在同一平面A'B内.

设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.

同理BB',CC'同在平面BC'内,CC',AA'同在平面A'C内.

因为P∈AA',AA'⊂平面A'C,所以P∈平面A'C.同理点P∈平面BC',所以点P在平面A'C与平面BC'的交线上,而平面A'C∩平面BC'=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.

能力提升

1.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则(　　)

A.P∈c B.P∉c 

C.c∩a=⌀ D.c∩β=⌀

答案A

解析如图,由a∩b=P,

∴P∈a,P∈b.

∵α∩β=a,β∩γ=b,

∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,

∴P∈c.

2.

(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)

A.A,M,O三点共线

B.A,M,O,A1四点共面

C.A,O,C,M四点共面

D.B,B1,O,M四点共面

答案ABC

解析因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.

3.三个互不重合的平面把空间分成n部分,则n所有可能的值为　　　　　. 

答案4,6,7或8

解析若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分;

若三个平面有两个平行,第三个平面与其他两个平面相交,则可将空间分成6部分;

若三个平面交于一线,则可将空间分成6部分;

若三个平面两两相交且三条交线平行,则可将空间分成7部分;

若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系),则可将空间分成8部分.故n的所有可能值为4,6,7或8.

4.

如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.

证明∵E,F分别是AB,AD的中点,

∴EF∥BD,且EF=BD.

又=2,

∴GH∥BD,且GH=BD,

∴EF∥GH,且EF>GH,

∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.

设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,

∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,

∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.

又平面ABC∩平面ACD=AC,

∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.