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初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似6.4 探索三角形相似的条件课后测评
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这是一份初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似6.4 探索三角形相似的条件课后测评，共11页。试卷主要包含了求证等内容，欢迎下载使用。
2021苏科版数学九年级下学期数学6.4探索三角形相似的条件 复习课时作业
一、选择题
1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝( )
A.1 B. C. D．
2、如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）对．
A．4 B．3 C．2 D．1
3、如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )
4、如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
5、如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
6、如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
7、如图1，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图2中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
图1 图2
8、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
9、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10、如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
二、填空题
11、如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，则＝
12、如图，如果l1∥l2∥l3，AC=12，DE=3，EF=5，那么BC= .
13、如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是 ．
14、已知：如图，在△ABC中，E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要添加的一个条件是______ (写出一个即可)．
15、一个三角形三边的长分别是3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，
则其他两边的和是___ _____
16、如图所示，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝4，AC＝5，AD＝4，
则⊙O的直径AE＝________．
17、如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE，已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是 ．
18、如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，
那么BF∶DF的值为________
19、如图，＝＝，则下列结论正确的有_________
①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE.
20、已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为__________.
三、解答题
21、如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．求证：DE∥BC
22、如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且＝，∠1＝∠2.求证：∠ABC＝∠AED.
23、如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（l）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE•BF＝EF•BC．
24、如图，已知∠C＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
25、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交
线段BE于点G，CG2＝GE·GD.
(1)求证：∠ACF＝∠ABD；
(2)连接EF，求证：FE·CG＝EG·CB.
26、如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B的度数；
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在图中画出点P，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．
27、如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC于点C，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.
求证：(1)直线CD是⊙O的切线；
(2)CD·BE＝AD·DE.
6.4探索三角形相似的条件 复习 -苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝( B )
A.1 B. C. D．
2、如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）对．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
由AF∥CD，可以推出△EAF∽△EDC，
由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF，
则△EDC∽△CBF，
故图中相似的三角形有3对．
故选：B．
3、如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( C )
4、如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
【解答】∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A为公共角，∴△AED∽△CBD；故选：D．
5、如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
[解析] ∵BC＝8，AD是中线，∴DC＝4.
在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴＝，
∴AC2＝DC·BC＝4×8＝32，∴AC＝4 . 故选B.
6、如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、若，且∠DAE＝∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项A符合题意；
B、若，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；
C、若∠B＝∠D，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D、若∠C＝∠AED，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；
故选：A．
7、如图1，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图2中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
图1 图2
[解析] A选项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
B选项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
C选项，阴影部分的三角形与原三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．
D选项，阴影部分的三角形与原三角形的两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选C.
8、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( B )
9、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
[解析] △DPG∽△DAP，△CPF∽△CBP，△APG∽△BFP.
10、如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
【解答】设运动时间为t秒．
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；
当△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，
故选：C．
二、填空题
11、如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，则＝
12、如图，如果l1∥l2∥l3，AC=12，DE=3，EF=5，那么BC= .
13、如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是 ．
【解答】∵∠PAB＝∠QAC，∴∠PAQ＝∠BAC，
若∠P＝∠B，则△APQ∽△ABC，
若∠Q＝∠C，则△APQ∽△ABC，
若，则△APQ∽△ABC，
故答案为：∠P＝∠B或∠Q＝∠C或．
14、已知：如图，在△ABC中，E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要添加的一个条件是__答案不唯一，如AF＝AC或∠AFE＝∠B等____(写出一个即可)．
15、一个三角形三边的长分别是3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，
则其他两边的和是___24 _____
16、如图所示，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝4，AC＝5，AD＝4，
则⊙O的直径AE＝________．
[解析] 由圆周角定理可知∠E＝∠C.
∵∠ABE＝∠ADC＝90°，∠E＝∠C，
∴△ABE∽△ADC，∴
∵AB＝4，AC＝5，AD＝4，
∴，∴AE＝5.
17、如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE，已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是 ．
【解答】解：设BE＝x，则EC＝10﹣x，
∵沿DE折叠点B落的AC边上的F处，∴EF＝BE＝x．
以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况：
①当∠CEF＝∠B时，∵△ABC∽△FEC，∴＝，即＝，解得x＝；
②当∠CEF＝∠A时，∵△ABC∽△EFC，∴＝，即＝，解得x＝5．
综上所述，BE的长为或5．
故答案为：或5．
18、如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，
那么BF∶DF的值为________
19、如图，＝＝，则下列结论正确的有_____2个____
①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE.
20、已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为___________.
三、解答题
21、如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．求证：DE∥BC
【详解】∵FE∥CD，∴，
∵AD是线段AF与AB的比例中项，∴，∴，∴DE∥BC．
22、如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且＝，∠1＝∠2.求证：∠ABC＝∠AED.
解：∵＝，∴＝，
∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED，∴∠ABC＝∠AED
23、如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（l）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE•BF＝EF•BC．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，∴△BEF∽△CDF；
（2）如图，连接DE，
∵△BEF∽△CDF；∴,又∵ÐEFD=ÐBFC, ∴△DEF∽△CBF，
∴，∴DE•BF＝EF•BC
方法二：∵∠BEF＝∠CDF＝90°，∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，∴△DEF∽△CBF，
∴，∴DE•BF＝EF•BC
24、如图，已知∠C＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
解：①若△ABC∽△ADB，则＝.∴＝.∴AD＝3.
②若△ABC∽△DAB，则＝.∴＝. ∴AD＝3.
综上所述，当AD＝3或3时，图中两直角三角形相似．
25、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交
线段BE于点G，CG2＝GE·GD.
(1)求证：∠ACF＝∠ABD；
(2)连接EF，求证：FE·CG＝EG·CB.
证明：(1)∵CG2＝GE·GD，∴＝.
又∵∠CGD＝∠EGC，∴△GCD∽△GEC，∴∠GDC＝∠GCE，即∠ACF＝∠BDC.
∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴∠ACF＝∠ABD.
(2)∵∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE，∴△BGF∽△CGE，∴＝，即＝.
又∵∠FGE＝∠BGC，∴△FGE∽△BGC，∴＝， ∴FE·CG＝EG·CB.
26、如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B的度数；
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在图中画出点P，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．
解(1)∵BD＝DC＝AC，则∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A.设∠B＝x，则∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x.
又∠ACE＝108°，∴∠B＋∠A＝108°.∴x＋2x＝108°，解得x＝36°.∴∠B＝36°.
(2)①有三个：△BDC，△ADC，△BAC.∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC是黄金三角形．
②∵△BAC是黄金三角形，∴＝.∵BC＝2，∴AC＝－1.
∵BA＝BC＝2，BD＝AC＝－1，∴AD＝BA－BD＝2－(－1)＝3－.
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3.
ⅰ)以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2.
ⅱ)以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3.
27、如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC于点C，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.
求证：(1)直线CD是⊙O的切线；
(2)CD·BE＝AD·DE.
证明：(1)连接OD.∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝∠BAD.
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD.
∵CD⊥AC，∴CD⊥OD. 又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线．
(2)连接BD.∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，
∴∠BAE＋∠E＝90°.
∵CD⊥AC，∴∠C＝90°，∴∠C＝∠BDE，∠CAD＋∠ADC＝90°.
又∵∠CAD＝∠BAE，∴∠ADC＝∠E，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD·BE＝AD·DE.
2021苏科版数学九年级下学期数学6.4探索三角形相似的条件 复习课时作业
一、选择题
1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝( )
A.1 B. C. D．
2、如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）对．
A．4 B．3 C．2 D．1
3、如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )
4、如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
5、如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
6、如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
7、如图1，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图2中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
图1 图2
8、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
9、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10、如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
二、填空题
11、如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，则＝
12、如图，如果l1∥l2∥l3，AC=12，DE=3，EF=5，那么BC= .
13、如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是 ．
14、已知：如图，在△ABC中，E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要添加的一个条件是______ (写出一个即可)．
15、一个三角形三边的长分别是3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，
则其他两边的和是___ _____
16、如图所示，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝4，AC＝5，AD＝4，
则⊙O的直径AE＝________．
17、如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE，已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是 ．
18、如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，
那么BF∶DF的值为________
19、如图，＝＝，则下列结论正确的有_________
①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE.
20、已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为__________.
三、解答题
21、如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．求证：DE∥BC
22、如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且＝，∠1＝∠2.求证：∠ABC＝∠AED.
23、如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（l）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE•BF＝EF•BC．
24、如图，已知∠C＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
25、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交
线段BE于点G，CG2＝GE·GD.
(1)求证：∠ACF＝∠ABD；
(2)连接EF，求证：FE·CG＝EG·CB.
26、如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B的度数；
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在图中画出点P，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．
27、如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC于点C，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.
求证：(1)直线CD是⊙O的切线；
(2)CD·BE＝AD·DE.
6.4探索三角形相似的条件 复习 -苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝( B )
A.1 B. C. D．
2、如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）对．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
由AF∥CD，可以推出△EAF∽△EDC，
由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF，
则△EDC∽△CBF，
故图中相似的三角形有3对．
故选：B．
3、如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( C )
4、如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
【解答】∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A为公共角，∴△AED∽△CBD；故选：D．
5、如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
[解析] ∵BC＝8，AD是中线，∴DC＝4.
在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴＝，
∴AC2＝DC·BC＝4×8＝32，∴AC＝4 . 故选B.
6、如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、若，且∠DAE＝∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项A符合题意；
B、若，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；
C、若∠B＝∠D，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D、若∠C＝∠AED，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；
故选：A．
7、如图1，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图2中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
图1 图2
[解析] A选项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
B选项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
C选项，阴影部分的三角形与原三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．
D选项，阴影部分的三角形与原三角形的两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选C.
8、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( B )
9、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
[解析] △DPG∽△DAP，△CPF∽△CBP，△APG∽△BFP.
10、如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
【解答】设运动时间为t秒．
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；
当△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，
故选：C．
二、填空题
11、如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，则＝
12、如图，如果l1∥l2∥l3，AC=12，DE=3，EF=5，那么BC= .
13、如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是 ．
【解答】∵∠PAB＝∠QAC，∴∠PAQ＝∠BAC，
若∠P＝∠B，则△APQ∽△ABC，
若∠Q＝∠C，则△APQ∽△ABC，
若，则△APQ∽△ABC，
故答案为：∠P＝∠B或∠Q＝∠C或．
14、已知：如图，在△ABC中，E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要添加的一个条件是__答案不唯一，如AF＝AC或∠AFE＝∠B等____(写出一个即可)．
15、一个三角形三边的长分别是3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，
则其他两边的和是___24 _____
16、如图所示，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝4，AC＝5，AD＝4，
则⊙O的直径AE＝________．
[解析] 由圆周角定理可知∠E＝∠C.
∵∠ABE＝∠ADC＝90°，∠E＝∠C，
∴△ABE∽△ADC，∴
∵AB＝4，AC＝5，AD＝4，
∴，∴AE＝5.
17、如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE，已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是 ．
【解答】解：设BE＝x，则EC＝10﹣x，
∵沿DE折叠点B落的AC边上的F处，∴EF＝BE＝x．
以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况：
①当∠CEF＝∠B时，∵△ABC∽△FEC，∴＝，即＝，解得x＝；
②当∠CEF＝∠A时，∵△ABC∽△EFC，∴＝，即＝，解得x＝5．
综上所述，BE的长为或5．
故答案为：或5．
18、如图，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，
那么BF∶DF的值为________
19、如图，＝＝，则下列结论正确的有_____2个____
①△ABC∽△ADE；②AC平分∠DAE；③∠AFB＝∠AGE；④∠ABF＝∠ADE.
20、已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为___________.
三、解答题
21、如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．求证：DE∥BC
【详解】∵FE∥CD，∴，
∵AD是线段AF与AB的比例中项，∴，∴，∴DE∥BC．
22、如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且＝，∠1＝∠2.求证：∠ABC＝∠AED.
解：∵＝，∴＝，
∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED，∴∠ABC＝∠AED
23、如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（l）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE•BF＝EF•BC．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，∴△BEF∽△CDF；
（2）如图，连接DE，
∵△BEF∽△CDF；∴,又∵ÐEFD=ÐBFC, ∴△DEF∽△CBF，
∴，∴DE•BF＝EF•BC
方法二：∵∠BEF＝∠CDF＝90°，∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，∴△DEF∽△CBF，
∴，∴DE•BF＝EF•BC
24、如图，已知∠C＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
解：①若△ABC∽△ADB，则＝.∴＝.∴AD＝3.
②若△ABC∽△DAB，则＝.∴＝. ∴AD＝3.
综上所述，当AD＝3或3时，图中两直角三角形相似．
25、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交
线段BE于点G，CG2＝GE·GD.
(1)求证：∠ACF＝∠ABD；
(2)连接EF，求证：FE·CG＝EG·CB.
证明：(1)∵CG2＝GE·GD，∴＝.
又∵∠CGD＝∠EGC，∴△GCD∽△GEC，∴∠GDC＝∠GCE，即∠ACF＝∠BDC.
∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴∠ACF＝∠ABD.
(2)∵∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE，∴△BGF∽△CGE，∴＝，即＝.
又∵∠FGE＝∠BGC，∴△FGE∽△BGC，∴＝， ∴FE·CG＝EG·CB.
26、如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B的度数；
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在图中画出点P，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．
解(1)∵BD＝DC＝AC，则∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A.设∠B＝x，则∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x.
又∠ACE＝108°，∴∠B＋∠A＝108°.∴x＋2x＝108°，解得x＝36°.∴∠B＝36°.
(2)①有三个：△BDC，△ADC，△BAC.∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC是黄金三角形．
②∵△BAC是黄金三角形，∴＝.∵BC＝2，∴AC＝－1.
∵BA＝BC＝2，BD＝AC＝－1，∴AD＝BA－BD＝2－(－1)＝3－.
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3.
ⅰ)以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2.
ⅱ)以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3.
27、如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC于点C，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.
求证：(1)直线CD是⊙O的切线；
(2)CD·BE＝AD·DE.
证明：(1)连接OD.∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝∠BAD.
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD.
∵CD⊥AC，∴CD⊥OD. 又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线．
(2)连接BD.∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，
∴∠BAE＋∠E＝90°.
∵CD⊥AC，∴∠C＝90°，∴∠C＝∠BDE，∠CAD＋∠ADC＝90°.
又∵∠CAD＝∠BAE，∴∠ADC＝∠E，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD·BE＝AD·DE.
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