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苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试巩固练习
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这是一份苏科版九年级下册第6章 图形的相似综合与测试巩固练习，共16页。试卷主要包含了4～6，5，那么下列结论中，正确的是， 故选B等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1、如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2、如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，
则的值为（ ）
A．B．C．D．
3、如图，DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是( )
A．eq \f(AC,DE)＝eq \f(AB,AD) B．∠B＝∠D C．AD∥BC D．∠BAC＝∠D
6、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
7、如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( )
A. AC∶BC＝AD∶BD B. AC∶BC＝AB∶AD C. AB2＝CD·BC D. AB2＝BD·BC
8、如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝_______时，△ABD∽△DBC.
9、如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
10、如图在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为( )
A．8 B．4 eq \r(10) C．12 D．14
11、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．∠OAD＝∠OBC B．＝C．＝ D．＝
12、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；
③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13、如图，l1∥l2∥l3，如果AB＝2，BC＝3，DE＝1，那么EF＝ ．
14、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝_____；S△DEC＝_____．
15、如图，AD是△ABC的中线，点E在AC延长线上，BE交AD的延长线于点F，若AC＝2CE，
则＝ ．
16、在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，
则当BC∶B′C′＝_______时，△A′B′C′∽__________
17、如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝eq \f(1,4)AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______.
18、如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，
则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______．
19、如图在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，△AEC的面积为____．
20、已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为 ．
21、如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16B．17C．24D．25
22、已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的角平分线AM＝8，
则△DEF中∠D的角平分线DN＝_________
23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，
若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25B．1：5C．1：4D．1：3
24、如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE=AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
25、如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若CE=2，CD=4，求△ABC的面积．
26、如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA，CB的延长线于点E，F，连接BD.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：BD2＝AC·BF.
27、如图，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA.为什么？
28、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
29、如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
30、如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）当AB=时，求证：DE∥BC．
31、如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．
（1）证明：△AEF∽△BFC．
（2）若AB，BC＝1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．
①求线段DQ的长． ②试判断△PCE的形状，并说明理由．
32、如图，已知点C在⊙O上，AC=AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；
（2）求证：△PCD∽△ABC；
（3）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．
第6章6.4～6.5相似三角形的判定与性质专题-苏科版九年级数学下册 培优训练(答案)
一、选择题
1、如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ D ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2、如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，
则的值为（ C ）
A．B．C．D．
3、如图，DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中正确的是（ C ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ）
A．B．C．D．
解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，
∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．
故选：C．
5、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是( A )
A．eq \f(AC,DE)＝eq \f(AB,AD) B．∠B＝∠D C．AD∥BC D．∠BAC＝∠D
6、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为( A )
A．4 B．5 C．6 D．7
7、如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( )
A. AC∶BC＝AD∶BD B. AC∶BC＝AB∶AD C. AB2＝CD·BC D. AB2＝BD·BC
【详解】根据：由,∠B=∠B 得△ABC∽△DBA. 故选：D
8、如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝_______时，△ABD∽△DBC.
【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，
又∵△ABD∽△DBC，∴=，
∵AB=2，BC=3，∴BD2=2×3=6，解得：BD=，则BD=时，△ABD∽△DBC．
故答案为：
9、如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( B )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
10、如图在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为( )
A．8 B．4 eq \r(10) C．12 D．14
[解析] ∵O是△ABC的重心， ∴E是AC的中点，OE＝eq \f(1,3)BE＝eq \f(1,3)×6＝2.
∵AD⊥BE，∴AE＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10)， ∴AC＝2AE＝2×2eq \r(10)＝4eq \r(10). 故选B.
11、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．∠OAD＝∠OBC B．＝C．＝ D．＝
【解答】解：∵OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，∴，
∵∠AOD＝∠BOC，∴△OAD∽△OBC，
∴∠OAD＝∠OBC，，
同理可得△AOB∽△DOC，，，
故B，C，D选项不正确， 故选：A．
12、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；
③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
二、填空题
13、如图，l1∥l2∥l3，如果AB＝2，BC＝3，DE＝1，那么EF＝ ．
14、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝_____；S△DEC＝_____．
【答案】2 4
解：如图所示，取EC中点F，连接DF．
∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．
∵F为EC中点，∴DF∥BE，则DF∥PE，∴，∴＝．
∴，∴S△ABE＝S△ABC＝×10＝2；
∵S△BEC＝S△ABC﹣S△ABE＝10﹣2＝8，又∵D为BC中点，∴S△DEC＝S△BEC＝×8＝4．故答案为2，4．
15、如图，AD是△ABC的中线，点E在AC延长线上，BE交AD的延长线于点F，若AC＝2CE，
则＝ 5 ．
16、在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，
则当BC∶B′C′＝___1∶2 ____时，△A′B′C′∽______ △ACB_____
17、如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝eq \f(1,4)AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为__4______.
18、如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，
则图中所形成的三角形中，相似的三角形是_△APB∽△CPA______．
19、如图在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，△AEC的面积为____．
解：∵D是△ABC的重心，
∴AD＝2DE，F为AC的中点，
∴S△ADF＝2S△DEF＝4，
∴S△EFC＝S△AEF＝6，∴S△AEC＝12.
20、已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为 ．
解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'＝1：4，∴AB：A′B′＝1：2，
∵AB＝2，∴A′B′＝4．故答案为4．
21、如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16B．17C．24D．25
【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG6，∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．
故选：A．
22、已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的角平分线AM＝8，
则△DEF中∠D的角平分线DN＝_____6____
23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，
若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25B．1：5C．1：4D．1：3
【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴（）2，
∴，∴S△DOE与S△COE的比为1：5， 故选：B．
24、如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AEAD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，
∴（）2＝（）2＝（）2，即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，
∴（）2＝（）2＝（）2，即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四边形ADCG＝15S△EAG，∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．
故选：A．
三、解答题
25、如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若CE=2，CD=4，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：∵CE⊥CD，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE=90°，
∵CD是Rt△ACB斜边的中线，∴CD=AD=DB，∴∠A=∠ACD，
∵DE∥AC，∴∠CDE=∠ACD，∴∠A=∠CDE，∴△ACB∽△DCE；
（2）由（1）可得：△ACB∽△DCE，
∵CE=2，CD=4，∴，AB=8，
∴在Rt△ACB中，，即, ∴，
∴．
26、如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA，CB的延长线于点E，F，连接BD.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：BD2＝AC·BF.
解：(1)∵AC＝BC，CD是圆的直径，
∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD，∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°，
∵OD是圆的半径，∴EF是⊙O的切线
(2)∵∠BDF＋∠CDB＝∠CDB＋∠BCD＝90°，∴∠BDF＝∠BCD，
∴△BCD∽△BDF，∴eq \f(BD,BF)＝eq \f(BC,BD)，∴BD2＝BC·BF，
∵BC＝AC，∴BD2＝AC·BF
27、如图，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA.为什么？
解：(1)∵t＝1秒，∴OE＝1.5厘米，OF＝2厘米．∵AB＝3厘米，OB＝4厘米，
∴eq \f(OE,AB)＝eq \f(1.5,3)＝eq \f(1,2)，eq \f(OF,BO)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).又∵∠MON＝∠ABE＝90°，∴△EOF∽△ABO.
(2)在运动过程中，OE＝1.5t，OF＝2t.∵AB＝3，OB＝4，∴eq \f(OE,AB)＝eq \f(OF,OB).又∵∠EOF＝∠ABO＝90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO.∴∠EFO＝∠AOB.
又∵∠AOB＋∠FOC＝90°，∴∠EFO＋∠FOC＝90°.∴∠FCO＝90°.∴EF⊥OA.
28、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA
(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝eq \r(122＋52)＝13，
AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝eq \f(1,2)AM＝6.5，∵△ABM∽△EFA，
∴eq \f(BM,AF)＝eq \f(AM,AE)，即eq \f(5,6.5)＝eq \f(13,AE)，∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9
29、如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
解：(1)证明：如图，连接OD.
∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°.
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°.
∵PD∥BC，∴∠PDO＋∠BOD＝180°，∴∠PDO＝90°，即PD⊥OD.
又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠ABD＋∠DCA＝180°.
又∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠DCA. ∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.
又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∴△PBD∽△DCA.
(3)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝eq \r(62＋82)＝10，∴OB＝OC＝OD＝5.
又∵OD⊥BC，∴DB＝DC＝5 eq \r(2). ∵△PBD∽△DCA，∴eq \f(PB,DC)＝eq \f(DB,AC)，
即eq \f(PB,5 \r(2))＝eq \f(5 \r(2),8)，∴PB＝eq \f(（5 \r(2)）2,8)＝eq \f(25,4).
30、如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）当AB=时，求证：DE∥BC．
【答案】解：（1）∵EF∥CD，∴，
∵AF＝3，AD＝5，AE＝4，∴，解得：AC，
∵AE＝4，∴CE＝AC﹣AE4；
（2）∵AB，AD＝5，AE＝4，AC，∴，
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．
31、如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．
（1）证明：△AEF∽△BFC．
（2）若AB，BC＝1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．
①求线段DQ的长． ②试判断△PCE的形状，并说明理由．
【解析】证明：（1）∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，∴∠D＝∠EFC＝90°，∴∠AFE+∠BFC＝90°，
又∵∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AEF＝∠BFC，
又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BFC；
（2）①连接EQ，
∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，∴CD＝CF，
∴BF1，∴BC＝BF＝1，∴∠BFC＝∠BCF＝45°，
∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF＝AB﹣BF1，∴DE＝AD﹣AE＝2，
∵PQ是EC的垂直平分线，∴EQ＝CQ，
∵EQ2＝DQ2+DE2，∴（DQ）2＝DQ2+（2）2，∴DQ＝2；
②△PEC是等腰直角三角形，
理由如下：∵PQ是EC的垂直平分线，∴PE＝PC，
∵PE2＝AE2+AP2，PC2＝PB2+BC2，∴（1）2+（BP）2＝PB2+1，∴BP1，∴BP＝AE，
在Rt△AEP和Rt△BPC中，，∴Rt△AEP≌Rt△BPC（HL），
∴∠APE＝∠BCP，∠AEP＝∠BPC，
∵∠APE+∠AEP＝90°，∴∠APE+∠BPC＝90°，∴∠EPC＝90°，∴△PEC是等腰直角三角形．
32、如图，已知点C在⊙O上，AC=AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；
（2）求证：△PCD∽△ABC；
（3）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．
【答案】(1)解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵AC=AB，∴∠ABC=30°，∴∠A=90°−∠ABC=60°，∴∠CPD=∠A=60°；
（2）证明：∵CD⊥PD，∴∠PDC=90°，∴∠ACB=∠PDC，
又∵∠CPD=∠A，∴△PCD∽△ABC；
（3）解：∵∠A=60°，∴∠BPC=∠A=60°．
∵PC⊥AB，AB是直径，∴=，∴∠ABP=∠ABC=30°，∴∠CPB=60°，
∴△CBP是等边三角形，∴BP=BC=CP．
∵在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，∴BC==，
∴△BCP的周长=BP+BC+CP=．
一、选择题
1、如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2、如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，
则的值为（ ）
A．B．C．D．
3、如图，DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是( )
A．eq \f(AC,DE)＝eq \f(AB,AD) B．∠B＝∠D C．AD∥BC D．∠BAC＝∠D
6、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
7、如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( )
A. AC∶BC＝AD∶BD B. AC∶BC＝AB∶AD C. AB2＝CD·BC D. AB2＝BD·BC
8、如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝_______时，△ABD∽△DBC.
9、如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
10、如图在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为( )
A．8 B．4 eq \r(10) C．12 D．14
11、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．∠OAD＝∠OBC B．＝C．＝ D．＝
12、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；
③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13、如图，l1∥l2∥l3，如果AB＝2，BC＝3，DE＝1，那么EF＝ ．
14、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝_____；S△DEC＝_____．
15、如图，AD是△ABC的中线，点E在AC延长线上，BE交AD的延长线于点F，若AC＝2CE，
则＝ ．
16、在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，
则当BC∶B′C′＝_______时，△A′B′C′∽__________
17、如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝eq \f(1,4)AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______.
18、如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，
则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______．
19、如图在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，△AEC的面积为____．
20、已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为 ．
21、如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16B．17C．24D．25
22、已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的角平分线AM＝8，
则△DEF中∠D的角平分线DN＝_________
23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，
若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25B．1：5C．1：4D．1：3
24、如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE=AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
25、如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若CE=2，CD=4，求△ABC的面积．
26、如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA，CB的延长线于点E，F，连接BD.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：BD2＝AC·BF.
27、如图，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA.为什么？
28、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
29、如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
30、如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）当AB=时，求证：DE∥BC．
31、如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．
（1）证明：△AEF∽△BFC．
（2）若AB，BC＝1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．
①求线段DQ的长． ②试判断△PCE的形状，并说明理由．
32、如图，已知点C在⊙O上，AC=AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；
（2）求证：△PCD∽△ABC；
（3）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．
第6章6.4～6.5相似三角形的判定与性质专题-苏科版九年级数学下册 培优训练(答案)
一、选择题
1、如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ D ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2、如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，
则的值为（ C ）
A．B．C．D．
3、如图，DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中正确的是（ C ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ）
A．B．C．D．
解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，
∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．
故选：C．
5、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是( A )
A．eq \f(AC,DE)＝eq \f(AB,AD) B．∠B＝∠D C．AD∥BC D．∠BAC＝∠D
6、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为( A )
A．4 B．5 C．6 D．7
7、如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( )
A. AC∶BC＝AD∶BD B. AC∶BC＝AB∶AD C. AB2＝CD·BC D. AB2＝BD·BC
【详解】根据：由,∠B=∠B 得△ABC∽△DBA. 故选：D
8、如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝_______时，△ABD∽△DBC.
【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，
又∵△ABD∽△DBC，∴=，
∵AB=2，BC=3，∴BD2=2×3=6，解得：BD=，则BD=时，△ABD∽△DBC．
故答案为：
9、如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( B )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
10、如图在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为( )
A．8 B．4 eq \r(10) C．12 D．14
[解析] ∵O是△ABC的重心， ∴E是AC的中点，OE＝eq \f(1,3)BE＝eq \f(1,3)×6＝2.
∵AD⊥BE，∴AE＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10)， ∴AC＝2AE＝2×2eq \r(10)＝4eq \r(10). 故选B.
11、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．∠OAD＝∠OBC B．＝C．＝ D．＝
【解答】解：∵OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，∴，
∵∠AOD＝∠BOC，∴△OAD∽△OBC，
∴∠OAD＝∠OBC，，
同理可得△AOB∽△DOC，，，
故B，C，D选项不正确， 故选：A．
12、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；
③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
二、填空题
13、如图，l1∥l2∥l3，如果AB＝2，BC＝3，DE＝1，那么EF＝ ．
14、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝_____；S△DEC＝_____．
【答案】2 4
解：如图所示，取EC中点F，连接DF．
∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．
∵F为EC中点，∴DF∥BE，则DF∥PE，∴，∴＝．
∴，∴S△ABE＝S△ABC＝×10＝2；
∵S△BEC＝S△ABC﹣S△ABE＝10﹣2＝8，又∵D为BC中点，∴S△DEC＝S△BEC＝×8＝4．故答案为2，4．
15、如图，AD是△ABC的中线，点E在AC延长线上，BE交AD的延长线于点F，若AC＝2CE，
则＝ 5 ．
16、在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，
则当BC∶B′C′＝___1∶2 ____时，△A′B′C′∽______ △ACB_____
17、如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝eq \f(1,4)AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为__4______.
18、如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，
则图中所形成的三角形中，相似的三角形是_△APB∽△CPA______．
19、如图在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，△AEC的面积为____．
解：∵D是△ABC的重心，
∴AD＝2DE，F为AC的中点，
∴S△ADF＝2S△DEF＝4，
∴S△EFC＝S△AEF＝6，∴S△AEC＝12.
20、已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为 ．
解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'＝1：4，∴AB：A′B′＝1：2，
∵AB＝2，∴A′B′＝4．故答案为4．
21、如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16B．17C．24D．25
【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG6，∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．
故选：A．
22、已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的角平分线AM＝8，
则△DEF中∠D的角平分线DN＝_____6____
23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，
若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25B．1：5C．1：4D．1：3
【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴（）2，
∴，∴S△DOE与S△COE的比为1：5， 故选：B．
24、如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AEAD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，
∴（）2＝（）2＝（）2，即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，
∴（）2＝（）2＝（）2，即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四边形ADCG＝15S△EAG，∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．
故选：A．
三、解答题
25、如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若CE=2，CD=4，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：∵CE⊥CD，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE=90°，
∵CD是Rt△ACB斜边的中线，∴CD=AD=DB，∴∠A=∠ACD，
∵DE∥AC，∴∠CDE=∠ACD，∴∠A=∠CDE，∴△ACB∽△DCE；
（2）由（1）可得：△ACB∽△DCE，
∵CE=2，CD=4，∴，AB=8，
∴在Rt△ACB中，，即, ∴，
∴．
26、如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA，CB的延长线于点E，F，连接BD.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：BD2＝AC·BF.
解：(1)∵AC＝BC，CD是圆的直径，
∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD，∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°，
∵OD是圆的半径，∴EF是⊙O的切线
(2)∵∠BDF＋∠CDB＝∠CDB＋∠BCD＝90°，∴∠BDF＝∠BCD，
∴△BCD∽△BDF，∴eq \f(BD,BF)＝eq \f(BC,BD)，∴BD2＝BC·BF，
∵BC＝AC，∴BD2＝AC·BF
27、如图，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA.为什么？
解：(1)∵t＝1秒，∴OE＝1.5厘米，OF＝2厘米．∵AB＝3厘米，OB＝4厘米，
∴eq \f(OE,AB)＝eq \f(1.5,3)＝eq \f(1,2)，eq \f(OF,BO)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).又∵∠MON＝∠ABE＝90°，∴△EOF∽△ABO.
(2)在运动过程中，OE＝1.5t，OF＝2t.∵AB＝3，OB＝4，∴eq \f(OE,AB)＝eq \f(OF,OB).又∵∠EOF＝∠ABO＝90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO.∴∠EFO＝∠AOB.
又∵∠AOB＋∠FOC＝90°，∴∠EFO＋∠FOC＝90°.∴∠FCO＝90°.∴EF⊥OA.
28、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA
(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝eq \r(122＋52)＝13，
AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝eq \f(1,2)AM＝6.5，∵△ABM∽△EFA，
∴eq \f(BM,AF)＝eq \f(AM,AE)，即eq \f(5,6.5)＝eq \f(13,AE)，∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9
29、如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
解：(1)证明：如图，连接OD.
∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°.
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°.
∵PD∥BC，∴∠PDO＋∠BOD＝180°，∴∠PDO＝90°，即PD⊥OD.
又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠ABD＋∠DCA＝180°.
又∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠DCA. ∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.
又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∴△PBD∽△DCA.
(3)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝eq \r(62＋82)＝10，∴OB＝OC＝OD＝5.
又∵OD⊥BC，∴DB＝DC＝5 eq \r(2). ∵△PBD∽△DCA，∴eq \f(PB,DC)＝eq \f(DB,AC)，
即eq \f(PB,5 \r(2))＝eq \f(5 \r(2),8)，∴PB＝eq \f(（5 \r(2)）2,8)＝eq \f(25,4).
30、如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）当AB=时，求证：DE∥BC．
【答案】解：（1）∵EF∥CD，∴，
∵AF＝3，AD＝5，AE＝4，∴，解得：AC，
∵AE＝4，∴CE＝AC﹣AE4；
（2）∵AB，AD＝5，AE＝4，AC，∴，
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．
31、如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．
（1）证明：△AEF∽△BFC．
（2）若AB，BC＝1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．
①求线段DQ的长． ②试判断△PCE的形状，并说明理由．
【解析】证明：（1）∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，∴∠D＝∠EFC＝90°，∴∠AFE+∠BFC＝90°，
又∵∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AEF＝∠BFC，
又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BFC；
（2）①连接EQ，
∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，∴CD＝CF，
∴BF1，∴BC＝BF＝1，∴∠BFC＝∠BCF＝45°，
∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF＝AB﹣BF1，∴DE＝AD﹣AE＝2，
∵PQ是EC的垂直平分线，∴EQ＝CQ，
∵EQ2＝DQ2+DE2，∴（DQ）2＝DQ2+（2）2，∴DQ＝2；
②△PEC是等腰直角三角形，
理由如下：∵PQ是EC的垂直平分线，∴PE＝PC，
∵PE2＝AE2+AP2，PC2＝PB2+BC2，∴（1）2+（BP）2＝PB2+1，∴BP1，∴BP＝AE，
在Rt△AEP和Rt△BPC中，，∴Rt△AEP≌Rt△BPC（HL），
∴∠APE＝∠BCP，∠AEP＝∠BPC，
∵∠APE+∠AEP＝90°，∴∠APE+∠BPC＝90°，∴∠EPC＝90°，∴△PEC是等腰直角三角形．
32、如图，已知点C在⊙O上，AC=AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；
（2）求证：△PCD∽△ABC；
（3）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．
【答案】(1)解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵AC=AB，∴∠ABC=30°，∴∠A=90°−∠ABC=60°，∴∠CPD=∠A=60°；
（2）证明：∵CD⊥PD，∴∠PDC=90°，∴∠ACB=∠PDC，
又∵∠CPD=∠A，∴△PCD∽△ABC；
（3）解：∵∠A=60°，∴∠BPC=∠A=60°．
∵PC⊥AB，AB是直径，∴=，∴∠ABP=∠ABC=30°，∴∠CPB=60°，
∴△CBP是等边三角形，∴BP=BC=CP．
∵在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，∴BC==，
∴△BCP的周长=BP+BC+CP=．
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