数学九年级下册6.4 探索三角形相似的条件优秀课时训练

这是一份数学九年级下册6.4 探索三角形相似的条件优秀课时训练，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第4节 探索三角形相似的条件








一、单选题（共8小题）


1.下列两个三角形不一定相似的是（ ）


A．两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形


B．腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形


C．有一个内角为50°的两个直角三角形


D．有一个内角是50°的两个等腰三角形


【解答】解：A、两条直角边之比为2：3的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；


B、两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意；


C、有一个内角为50°的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；


D、有一个内角是50°的两个等腰三角形，因为50°是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意．


故选：D．


【知识点】等腰三角形的性质、相似三角形的判定


2.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）对．





A．4B．3C．2D．1


【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB∥CD，AD∥BC，


由AF∥CD，可以推出△EAF∽△EDC，


由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF，


则△EDC∽△CBF，


故图中相似的三角形有3对．


故选：B．


【知识点】相似三角形的判定、平行四边形的性质


3.已知△ABC是正三角形，点D是边BC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（ ）对．





A．6B．5C．4D．3


【解答】解：图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△BFE，△BFE∽△DFA，△BDC∽△DFA，△BDF∽△BAD．


理由：∵△ABC和△BDE是正三角形，


∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∠E＝∠BDE＝∠EBD＝60°，


∴△ABC∽△EDB，


可得∠EBF＝∠DBC，∠E＝∠C，


∴△BDC∽△BFE，


∴∠BDC＝∠BFE＝∠AFD，


∴△BDC∽△DFA，


∴△BFE∽△DFA，


∵∠DBF＝∠ABD，∠BDF＝∠BAD，


∴△BDF∽△BAD．


故选：B．


【知识点】相似三角形的判定、等边三角形的性质


4.如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）





A．＝B．＝C．∠B＝∠DD．∠C＝∠AED


【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE，


∴∠DAE＝∠BAC，


A、若，且∠DAE＝∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项A符合题意；


B、若，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；


C、若∠B＝∠D，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；


D、若∠C＝∠AED，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；


故选：A．


【知识点】相似三角形的判定


5.如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）





A．△AED∽△BEDB．△BAD∽△BCDC．△AED∽△ABDD．△AED∽△CBD


【解答】解：∵AD：AC＝1：3，


∴AD：DC＝1：2；


∵△ABC是正三角形，


∴AB＝BC＝AC；


∵AE＝BE，


∴AE：BC＝AE：AB＝1：2


∴AD：DC＝AE：BC；


∵∠A为公共角，


∴△AED∽△CBD；


故选：D．


【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定


6.如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（ ）





A．点AB．点BC．点CD．点D


【解答】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为，


观各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．


故选：D．


【知识点】相似三角形的判定


7.如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）





A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③


【解答】解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，


所以△APC∽△ACB；


当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，


所以△APC∽△ACB；


当AC2＝AP•AB，


即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A


所以△APC∽△ACB；


当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB，


而∠PAC＝∠CAB，


所以不能判断△APC和△ACB相似．


故选：D．


【知识点】相似三角形的判定


8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）





A．sB．sC．s或sD．以上均不对


【解答】解：设运动时间为t秒．


BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，


当△BAC∽△BPQ，＝，


即＝，


解得t＝；


当△BCA∽△BPQ，＝，


即＝，


解得t＝，


综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为s或s，


故选：C．


【知识点】相似三角形的判定、等腰三角形的性质








二、填空题（共6小题）


9.如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是 ．





【解答】解：∵∠PAB＝∠QAC，


∴∠PAQ＝∠BAC，


若∠P＝∠B，则△APQ∽△ABC，


若∠Q＝∠C，则△APQ∽△ABC，


若，则△APQ∽△ABC，


故答案为：∠P＝∠B或∠Q＝∠C或．


【知识点】相似三角形的判定


10.如图，∠1＝∠2，若△ABC∽△ADE，可添加的一个条件是 （填写一个条件即可）





【解答】解：∵∠1＝∠2，


∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，


即∠BAC＝∠DAE，


所以，添加的条件为∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．


故答案为：∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．


【知识点】相似三角形的判定


11.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是的中点，BD交AC于点E，请找出一个与△BDC相似的三角形： ．（写出一个即可）





【解答】解：∵D是的中点，


∴＝，


∴∠DBC＝∠ACD．


∵∠D为公共角，


∴△CDE∽△BDC．


∵∠ABE＝∠DBC，∠A＝∠D，


∴△BAE∽△BDC．


∴与△BDC相似的三角形的有：△CDE，△ABE．


故答案为：△CDE（答案不唯一）．


【知识点】三角形的外接圆与外心、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定


12.在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为 ．





【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，


则＝，＝＝，＝＝，


∴＝＝，


∴△DEF∽△ABC，


△DEF的面积＝×2×1＝1，


故答案为：1．





【知识点】相似三角形的判定


13.如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE，已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是 ．





【解答】解：设BE＝x，则EC＝10﹣x，


∵沿DE折叠点B落的AC边上的F处，


∴EF＝BE＝x．


以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况：


①当∠CEF＝∠B时，


∵△ABC∽△FEC，


∴＝，即＝，


解得x＝；


②当∠CEF＝∠A时，


∵△ABC∽△EFC，


∴＝，即＝，


解得x＝5．


综上所述，BE的长为或5．


故答案为：或5．


【知识点】翻折变换（折叠问题）、相似三角形的判定


14.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC＝ ．





【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，


∴AB＝15，


∵D是AB边的中点，


∴CD＝BD＝AB＝7.5，


∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，


∴∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，


（1）若∠DPC＝90°，则DP∥AC，


∴＝＝，


∴BP＝BC＝6，


则PC＝6；


（2）若∠CDP＝90°，则△CDP∽△BCA，


∴＝，


即＝，


∴PC＝．


综上所述：PC＝6或．


故答案为：6或．








【知识点】相似三角形的判定








三、解答题（共5小题）


15.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD．求证：△FDB∽△ABC．





【解答】证明：∵DE是BC垂直平分线，


∴BE＝CE，


∴∠EBC＝∠ECB，


∵AB＝AD，


∴∠ABC＝∠ADB，


∴△FDB∽△ABC．


【知识点】线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定


16.如图，正方形ABCD边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，且△AED与以点M、N、C为顶点的三角形相似，则CM的长是多少？





【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，


∴AE＝1，


∴DE＝＝＝，


当△AED∽△CNM时，＝，即＝，


解得CM＝，


当△AED∽△CMN时，＝，即＝，


解得CM＝．


【知识点】相似三角形的判定、正方形的性质


17.已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝7.4，AD＝3，AC＝6，AE＝3.7，求证：△ABC∽△AED．





【解答】证明：在△ABC和△AED 中，


∵．


∴，


又∵∠A＝∠A，


∴△ABC∽△AED．


【知识点】相似三角形的判定


18.如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．


（l）求证：△BEF∽△CDF；


（2）求证：DE•BF＝EF•BC．





【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，


∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，


∴△BEF∽△CDF；


（2）如图，连接DE，





∵∠BEF＝∠CDF＝90°，


∴点B，点C，点D，点E四点共圆，


∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，


∴△DEF∽△CBF，


∴，


∴DE•BF＝EF•BC


【知识点】相似三角形的判定


19.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．





（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；


（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？


【解答】解：（1）∵DE⊥AF，


∴∠AOE＝90°，


∴∠BAF+∠AEO＝90°，


∵∠ADE+∠AEO＝90°，


∴∠BAF＝∠ADE，


又∵四边形ABCD是正方形，


∴AB＝AD，∠ABF＝∠DAE＝90°，


∴△ABF≌△DAE（ASA）


∴AE＝BF，


∴1+t＝2t，


解得t＝1．





（2）如图2，


∵四边形ABCD是正方形，


∴AB＝BC＝CD＝4，


∵BF＝2t，AE＝1+t，


∴FC＝4﹣2t，BE＝4﹣1﹣t＝3﹣t，


当△EBF∽△DCF时，


，


∴＝，


解得，t＝，t＝（舍去），


故t＝．


所以当t＝时，△EBF∽△DCF；








【知识点】正方形的性质、相似三角形的判定