苏教版九年级数学下册同步精品讲义 第09讲 探索三角形相似的条件（学生版+解析版）

第6章 图形的相似6.4探索三角形相似的条件目标导航知识精讲知识点01 平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图： ，直线a、b分别与交于点A、B、C和点D、E、F，则有（1）（2）（3）成立. 【微点拨】当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.2.平行于三角形一边的直线的性质平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.【微点拨】这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理.【即学即练1】如图，，则下列结论不正确的是（　　）A． B． C． D．知识点02 相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似.　【微点拨】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.【即学即练2】将两个完全相同的等腰直角△ABC与△AFG按图所示的方式放置，那么图中一定相似（不含全等）的三角形是（　　）A．△AEC与△ADB B．△ABE与△DAE C．△ABC与△ADE D．△AEC与△ADC2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.【微点拨】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.【即学即练3】如图，在中，P为AB上一点，在下列四个条件中不能判定和相似的条件是（    ）A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D．3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似.【即学即练4】如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）A． B． C． D．知识点03 三角形的重心三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.能力拓展考法01 由平行判断成比例的线段【典例1】如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（    ）A． B． C． D．考法02 证明两三角形相似【典例2】如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（    ）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④分层提分题组A 基础过关练1．如图，在△ABC中，，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（    ）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm2．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　）A． B． C． D．4．如图，直线abc，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，则 与 的比是（　　）A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：46．下列说法正确的是（    ）A．两个直角三角形相似B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似7．如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．8．如图，在中，，，，，则的长_____．9．如图，∠1＝∠2，请你补充一个条件：_________，使△ABC∽△ADE．10．图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）．题组B 能力提升练1．如图，D是△ABC的边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　　）A．∠ACD＝∠B B． C．∠ADC＝∠ACB D． 2．如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　）A．4 B．6 C．8 D．123．如图，在中，D、E分别是、上的点，，若，，，则的长是（    ）A． B．3 C． D．64．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（   ）A． B． C． D．6．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若，EF=2，则CE的长为 ___________.7．如图，为估算河的宽度，在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD＝20m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC＝40m．如果DE＝30m，A、E、C三点共线，则河宽AD为______．8．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是______．9．如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．题组C 培优拔尖练1．如图，点在的边上，添加一个条件，不能判断与相似的是（   ）A． B．C． D．2．已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（　　）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知菱形，、是动点，边长为5，，，则下列命题中正确的是（    ）①；②为等边三角形；③的边长最小值为；④若，则．A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③5．如图，AD是ABC的中线，M是AD的中点，延长BM交AC于点N，若AC=4，则AN=______．6．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝________．7．如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______．8．已知中，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法正确的是_________（填写序号）．9．如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．(1)求证：△ABC与△BCD相似：(2)求∠A的度数10．如图，ABCD是正方形，E是CD上一点，F是BC延长线上一点，且CE＝CF，BE延长线交DF于点G．(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)求证：△BGF∽△DCF．11．已知，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，点E为CD中点，以点E为圆心，CE为半径的圆交BC与点F，连结AF交⊙E与点G，连结BG，EF，∠BGF＝∠BAC．求证：(1)ABEF．(2)△ABG∽△FAE．32．请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．课程标准课标解读1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用；2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法；3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明.掌握平行线分线段成比例定理及其推论，学会灵活应用；