考点04 空间几何体的表面积、体积2-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点04   空间几何体的表面积、体积2

1.（2020•潍坊模拟）已知三棱锥D﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为（　　）

A．8π B．9π C． D．

2.（2020•山东模拟）已知三棱锥A﹣BCD中，底面BCD是边长为2的正三角形，侧面ABD⊥底面BCD，且AB＝AD＝2，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

A．12π B．16π C．20π D．24π

3.（2020•潍坊模拟）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该球的表面积为（　　）

A．4π B．4π C．8π D．32π

4.（2020•淄博一模）若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为（　　）

A． B． C． D．

5.（2020•海南模拟）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在球O的球面上．AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为（　　）

A．30 B．10 C．33 D．12

6.（2020•咸阳二模）正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，高为3，则它的外接球的表面积为（　　）

A．4π B．8π C．16π D．20π

7.（2020•郑州二模）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A．π B．2π C．6π D．24π

8. （2020•滨州二模）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为b．高都为a（a＞b）的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明S圆＝S圆环总成立．据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（　　）

A． B． C． D．

9.（2020•潍坊二模）在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为（　　）

A． B． C． D．

10.（2020•聊城一模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱CC1的中点，点A，B，D，M都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）

A． B．3π C． D．9π

11.（2020•嘉祥县校级一模）已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（　　）

A．16π B．20π C．32π D．64π

12.（2020•德州一模）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝，则球O的体积为（　　）

A． B． C． D．

13.（2020春•沙坪坝区校级期中）已知A，B，C，D四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，若四面体ABCD的体积的最大值为，则球O的表面积为（　　）

A． B．2π C． D．

14.（2020•河北区一模）在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合点为F，则三棱锥F﹣DCE的外接球体积为（　　）

A． B．π C． D．π

15.（2020春•河西区校级月考）已知三棱锥D﹣ABC中，AD⊥面ABC，，AB＝1，，，则三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．8π B．6π C．4π D．

16.（2020•全国II卷模拟）已知高为的直三棱柱ABC一A1B1C1，的各个顶点都在同一球面上，若AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°．则球的体积为　　　　．

17.（2020•河西区一模）已知圆锥的高为1，体积为，则以该圆锥的母线为半径的球的体积为　　　　　　．

18.（2020•河东区一模）正四棱锥的高与底面边长相等且体积为，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为　　　．

19.（2020•汉中二模）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC，AB＝2，，AC＝3，E，F分别为AC，PB的中点，，则球O的体积为　　　　　　．

20.（2020春•顺德区月考）已知三棱锥A﹣BCD，BD⊥CD，AC⊥平面BCD，AC＝CD＝BD＝4，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为　　　　．

21.（2020•聊城一模）点M，N分别为三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱BC，BB1的中点，设△A1MN的面积为S1，平面A1MN截三棱柱ABC﹣A1B1C1所得截面面积为S，五棱锥A1﹣CC1B1NM的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，则＝　　　　　　，＝　　　　　　．

22.（2020•中卫二模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：

如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝6，点E在棱AB上，BE＝2AE，动点P满足BP＝PE．若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为　　　　　　；若点P在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内部运动，F为棱C1D1的中点，M为CP的中点，则三棱锥M﹣B1CF的体积的最小值为　　　　　　．

23.（2020•垫江县校级模拟）如图，ABCD是边长为2的菱形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4．

（1）求证：EF⊥AC；

（2）求几何体EFABCD的体积．

24.（2020•丹东模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在PD上．

（1）若E为PD的中点，证明：PB∥平面AEC；

（2）若PA＝1，PD═2AB＝，三棱锥E﹣ACD的体积为，证明：E为PD的中点．

25.（2020•山西模拟）如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，点F是线段PD上一动点，将△PCD沿CD折起，使得平面PCD⊥平面ACD．

（1）证明：AC⊥BF；

（2）若点F为PD的中点，求三棱锥P﹣EFG的体积．

26.（2020•梅河口市校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝4，CD＝2CE＝2．

（1）证明：平面PAD⊥平面PDE；

（2）若△PAB的面积为2，求三棱锥P﹣ADE的体积．

27.（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC＝SD．

（1）证明：SH⊥平面BCDE；

（2）求三棱锥C﹣SHE的体积．

28.（2020•泉州一模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D是AC的中点，E在A1C1边上，EC1＝3A1E．

（1）证明：平面BC1D⊥平面ACC1A1．

（2）若F是侧面ABB1A1内的动点，且EF∥平面BC1D．

①作出点F的轨迹，并说明轨迹的形状（不需要说明理由）；

②求三棱锥F﹣BC1D的体积．

29.（2020•鹿城区校级模拟）如图，正四面体A﹣BCD底面的中心为O，△ACD的重心为G．P是△ACD内部一动点（包括边界），满足A，P，G不共线且点P到点A的距离与到平面BCD的距离相等．

（Ⅰ）证明：AB∥平面OPG；

（Ⅱ）若|AB|＝2，求四面体B﹣OPG体积的最大值．

30.（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝4，BB1＝10，D，E分别是线段BB1，AC1的中点．

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求三棱锥A﹣DCE的体积．

31.（2020•咸阳二模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．

（I）求证：平面EMN⊥平面PBC；

（Ⅱ）设三棱锥B﹣EMN和四棱锥P﹣EBCD的体积分别为V1和V2，当N为BC中点时，求的值．