考点04 基本初等函数压轴题汇总-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点04 基本初等函数压轴题
一、单选题（共15小题）

1.（2020•和平区模拟）已知函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]

【解答】解：∵g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，
∴2g（a）＝2a2﹣4a，a∈R，
∵y＝2a2﹣4a，a∈R，
∴当a＝1时，y最小值＝﹣2，
∵函数f（x）＝，
f（﹣7）＝6，f（e﹣2）＝﹣2，
∴值域为[﹣2，6]
∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，
∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，
即﹣1≤a≤3，
故选：C．

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用

2.（2020•榆林一模）已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10

【解答】解：由题意，函数f（x）满足：
定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；
在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：
由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；
故选：C．

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用、函数的图象与图象的变换

3.（2020•龙岩模拟）设a＝log43，b＝log54，c＝2﹣0.01，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a

【解答】解：因为0＝log41＜a＝log43＜log44＝1，
0＜b＝log54＜log55＝1，
c＝2﹣0.01＞2≈0.92，
log54＝≈0.86，
＝＝log43×log45＜（）2＝（）2＜1，
∴a，b，c的大小关系为a＜b＜c．
故选：B．
【知识点】对数值大小的比较

4.（2020•西湖区校级模拟）正数a，b满足1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b），则的值是（　　）
A． B． C． D．

【解答】解，依题意，设1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b）＝k，
则a＝2k﹣1，b＝3k﹣2，a+b＝6k﹣3，
所以＝＝＝＝＝，
故选：A．
【知识点】对数的运算性质

5.（2020春•瀍河区校级月考）已知实数a，b，c，d满足，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．

【解答】解：∵实数a，b，c，d满足，
∴b＝lna，d＝c+1．
考查函数y＝lnx，与y＝x+1．
∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y＝lnx与直线y＝x+1之间的距离的平方值，
对曲线y＝lnx求导：y′＝，
与直线y＝x+1平行的切线斜率k＝1＝，解得：x＝1，
将x＝1代入y＝lnx得：y＝0，即切点坐标为（1，0），
∴切点（1，0）到直线y＝x+1的距离d＝＝，即d2＝2，
则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为2．
故选：C．
【知识点】对数的运算性质

6.（2020秋•浦东新区校级月考）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），若f（x）在R上存在反函数，则下列结论正确的是（　　）
A．或
B．或
C．或
D．或

【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝a﹣x+b，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x），
∴﹣f（x）＝a﹣x+b，
∴f（x）＝﹣a﹣x﹣b，
若f（x）在R上存在反函数，则必需保证函数f（x）不存在多个自变量x对应同一个函数值即可，
当a＞1时，则需满足a0+b≥﹣a0﹣b，解得b≥﹣1，
当0＜a＜1时，则需满足a0+b≤﹣a0﹣b或b≥0，解得b≤﹣1或b≥0，
故选：B．
【知识点】反函数

7.（2020春•定州市校级期末）已知函数f（x）＝loga（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（1，4） B．（1，4] C．（1，2） D．（1，2]

【解答】解：由题意可得g（x）＝x2﹣2ax的对称轴为x＝a
①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立
则
∴1＜a＜2
②0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立
则此时a不存在
综上可得，1＜a＜2
故选：C．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点、二次函数的性质与图象、对数函数的定义域

8.（2020•西湖区校级模拟）已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，且a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝n﹣mx不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，且a≠1）恒过定点（2，2），
∴m＝n＝2，
∴g（x）＝2﹣2x，
∴g（x）为减函数，且过点（0，1），
∴g（x）的函数图象不经过第三象限．
故选：C．
【知识点】指数函数的图象与性质

9.（2020全国I卷模拟）已知函数f（x）＝，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【解答】解：如函数f（x）＝图象，
∵a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），
通过图象可得：a与b关于对称，
∴a+b＝﹣1；
由f（c）＝f（d），
可得：；
那么．
即cd＝1；
则＝﹣1；
故选：A．
【知识点】函数与方程的综合运用、指数型复合函数的性质及应用、分段函数的应用

10.（2019春•浙江期中）设函数f（x）＝ex+ax2+bx+c（a，b，c为非零实数），且f（a）＝ea，f（b）＝eb，若a＜﹣1，则b的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：依题意由f（a）＝ea，f（b）＝eb得+两式相减得，a（a+b）（a﹣b）+b（a﹣b）＝0，
所以（a﹣b（a2+ab+b）＝0，
若a＝b，则f（a）＝ea，f（b）＝eb成立时，a＝b＝0，不成立．
所以b＝＝2﹣﹣（a+1），
因为a+1＜0，
所以b＝＝2﹣﹣（a+1）＝4，当且仅当（a+1）2＝1，即a＝﹣2时b取得最小值．
故选：D．
【知识点】指数函数的图象与性质

11.（2020春•尤溪县校级期中）函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2＝0上（其中m，n＞0），则的最小值等于（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4

【解答】解：令x+3＝1，求得x＝﹣2，可得函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A（﹣2，﹣1），
若点A在直线mx+ny+2＝0上（其中m，n＞0），则﹣2m﹣n+2＝0，即 2m+n＝2．
由基本不等式可得2≥2，即mn≤，即≥2，当且仅当2m＝n＝1时，取等号．
则＝＝≥4，
故选：D．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点

12.（2020•陆良县一模）已知函数f（x）＝ln（|x|+1）+，则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（　　）
A． B．
C．（1，+∞） D．

【解答】解：∵函数f（x）＝ln（|x|+1）+为定义域R上的偶函数，
且在x≥0时，函数单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
两边平方得x2＞（2x﹣1）2，
即3x2﹣4x+1＜0，
解得＜x＜1；
∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（，1）．
故选：A．
【知识点】对数函数的图象与性质

13.（2020山东模拟）已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（　　）
A． B．
C． D．

【解答】解：∵x∈（0，4），
∴x+1＞1
∴f（x）＝x﹣4+＝x+1+﹣5≥2﹣5＝1，
当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1
∴a＝2，b＝1，
此时g（x）＝2|x+1|＝，
此函数可以看成函数y＝的图象向左平移1个单位
结合指数函数的图象及选项可知A正确
故选：A．
【知识点】指数函数的图象与性质

14.（2020秋•历城区校级月考）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2（a＞0），若存在实数m，n∈[1，3]，且m﹣n≥1时有f（m）＝f（n）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，] B．[]
C．（] D．（）

【解答】解：依题意得m∈[1，2]，n∈[2，3]，而f′（x）＝＝，
由a＞0，m﹣n≥1时有f（m）＝f（n）成立，
则f（x）须在（1，）上单调递增，在（，3）上单调递减，
∵f（1）＝﹣a，f（2）＝ln2﹣4a，f（3）＝ln3﹣9a，
当f（3）≥f（1）时，只需f（2）≥f（3），此时ln2﹣4a≥ln3﹣9a，解得a；
当f（3）＜f（1）时，只需f（2）≥f（1），此时ln2﹣4a≥﹣a，解得a．
∴a的取值范围为：≤a≤．
故选：B．
【知识点】对数函数的图象与性质

15.（2020秋•开福区校级月考）已知f（x）是定义在R上的单调函数，满足f[f（x）﹣ex]＝1，且f（a）＞f（b）＞e，若logab+logba＝，则a与b的关系是（　　）
A．a＝b3 B．b＝a3 C．a＝b4 D．b＝a4

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的单调函数，满足f[f（x）﹣ex]＝1，
∴f（x）﹣ex是一个常数，设a＝f（x）﹣ex，则f（a）＝1，
由a＝f（x）﹣ex，得f（x）＝a+ex，
令x＝a，得f（a）＝a+ea＝1，解得a＝0，
∵f（a）＞f（b）＞e＝f（1），
∴a＞b＞1，∴logba＞1，
∵logab+logba＝，∴+logba＝，
解得logba＝4或logba＝﹣．（舍去），
∴a＝b4．
故选：C．
【知识点】对数的运算性质


二、填空题（共10小题）

16.（2020秋•蚌埠期中）已知函数y＝ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则定点A的坐标为　　．

【解答】解：由指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点
而要得到函数y＝ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象，
可将指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象向左平移两个单位，再向下平移两个单位．
则（0，1）点平移后得到（﹣2，﹣1）点，
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【知识点】指数函数的图象与性质

17.（2020秋•昌江区校级期中）f（x）＝x2﹣ax﹣3a，若y＝log2（f（x））在（﹣∞，﹣1）上递减，则a∈　　．

【解答】解：∵f（x）＝x2﹣ax﹣3a，y＝log2（f（x））在（﹣∞，﹣1）上递减，
∴f（x）＝x2﹣ax﹣3a的对称轴x＝≥﹣1，且f（x）＞0，即f（﹣1）＝1+a﹣3a＝1﹣2a≥0，
解得﹣2≤a≤．
∴a∈[﹣2，]．
故答案为：[﹣2，]．
【知识点】对数函数的图象与性质

18.（2020•抚顺一模）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则的最小值为　　　．

【解答】解：∵log2x+log2y＝1，
∴log2xy＝1＝log22，
∴xy＝2，
∴＝＝（x﹣y）+≥2＝4，但且仅当x＝1+，y＝﹣1时取等号，
故的最小值为4，
故答案为：4．
【知识点】对数的运算性质

19.（2020秋•怀化期末）函数y＝loga（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为　　　．

【解答】解：∵x＝﹣2时，y＝loga1﹣1＝﹣1，
∴函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），
∵点A在直线mx+ny+1＝0上，
∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1，
∵m＞0，n＞0，
∴+＝（+）（2m+n）＝2+++2≥4+2•＝8，
当且仅当m＝，n＝时取等号．
故答案为：8
【知识点】对数函数的图象与性质

20.（2020秋•广安期末）已知3m＝5n＝k且，则k的值为　　　．

【解答】解：3m＝5n＝k，
可得＝logk3，＝logk5，
∵，
∴logk3+logk5＝2，
可得logk15＝2，
k＝．
故答案为：．
【知识点】对数的运算性质

21.（2020秋•大同期末）设函数f（x）＝|logax|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a＝　　．

【解答】解：①若1≤m＜n，则f（x）＝﹣logax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）＝0，f（n）＝1，解得m＝1，n＝，
又∵n﹣m的最小值为，∴﹣1≥以及0＜a＜1，
当“＝”成立时，解得a＝，符合题意；
②若0＜m＜n≤1，则f（x）＝logax，
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）＝1，f（n）＝0，解得m＝a，n＝1，
又∵n﹣m的最小值为，∴1﹣a＝，解得a＝，符合题意；
③若0＜m＜1＜n时，根据对数函数的性质得不满足题意．
故答案为：或．
【知识点】对数函数的图象与性质

22.（2020春•城关区校级月考）已知点（2，9）在函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上，对于函数y＝f（x）定义域中的任意x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2）；
②f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）；
③＜0；
④f（）＜
上述结论中正确结论的序号是　　　．

【解答】解：∵点（2，9）在函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上，
∴a2＝9，解得：a＝3，
∴f（x）＝3x，
∴①f（x1+x2）＝＝•＝f（x1）•f（x2），故①正确；
②f（x1•x2）＝≠f（x1）+f（x2），故②错误；
③a＝3＞1，f（x）在R递增，故＞0，故③错误；
④＝≥＝＝f（）
故④正确；
故答案为：①④．
【知识点】指数函数的图象与性质

23.（2020•江苏模拟）已知a，b，c，d∈R且满足＝＝1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为　　．

【解答】解：因为＝＝1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y＝x+3lnx与y＝2x+3上任意一点，
问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，
设M（t，t+3lnt）是曲线y＝x+3lnx的切点，因为y′＝1+，
故点M处的切斜的斜率k＝1+，
由题意可得1+＝2，解得t＝3，
也即当切线与已知直线y＝2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y＝2x+3的距离最近，
最近距离d＝＝，
也即（a﹣c）2+（b﹣d）2＝＝ln2，
故答案为：ln2
【知识点】对数的运算性质

24.（2020秋•顺德区月考）已知函数f（x）在R上连续，对任意x∈R都有f（﹣3﹣x）＝f（1+x）；在（﹣∞，﹣1）中任意取两个不相等的实数x1，x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立；若f（2a﹣1）＜f（3a﹣2），则实数a的取值范围是　　　　　　．

【解答】解：由f（﹣3﹣x）＝f（1+x）可知函数f（x）关于直线x＝﹣1对称；
在（﹣∞，﹣1）中任意取两个不相等的实数x1，x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立；
可知函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，由对称性可知函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，
不妨设f（x）＝（x+1）2，则由f（2a﹣1）＜f（3a﹣2）可得4a2＜（3a﹣1）2，
整理得5a2﹣6a+1＞0，即（a﹣1）（5a﹣1）＞0，
解得或a＞1，所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
【知识点】抽象函数及其应用、指数型复合函数的性质及应用

25.（2020春•黄浦区校级月考）设定义域为R的函数f（x）、g（x）都有反函数，且函数f（x﹣1）和g﹣1（x﹣3）图象关于直线y＝x对称，若g（5）＝2015，则f（4）＝　　　　

【解答】解：解：设g﹣1（x﹣3）＝y 则g（g﹣1（x﹣3））＝g（y）
∴x﹣3＝g（y）
∴x＝g（y）+3
得y＝g（x）+3 （为g﹣1（x﹣3）的反函数）
又∵f（x﹣1）与g﹣1（x﹣3）的图象关于直线y＝x对称
∴f（x﹣1）＝g（x）+3
又 g（5）＝2015
∴f（4）＝f（5﹣1）＝g（5）+3
∴f（4）＝2015+3＝2018
故填：2018．
【知识点】反函数


三、解答题（共10小题）

26.（2020春•海淀区校级期中）化简求值．
（1）
（2）．

【解答】解：（1）
＝+lg（25×4）+2+1
＝
＝．
（2）
＝
＝＝﹣45．
【知识点】有理数指数幂及根式、对数的运算性质

27.（2020秋•西湖区校级期中）化简求值：
（1）0.﹣（﹣）0++0.
（2）lg25+lg2+（）﹣log29×log32．

【解答】解：（1）0.﹣（﹣）0++0.＝﹣1++＝2.5﹣1+8+0.5＝10
（2）lg25+lg2+（）﹣log29×log32＝lg5+lg2+﹣2（log23×log32）＝1+﹣2＝﹣
【知识点】对数的运算性质

28.（2020秋•荆州区校级期中）已知f（x）＝log2（x﹣1）．
（Ⅰ）若f（x0+1）+f（x0﹣1）＝0，求x0的值；
（Ⅱ）记g（x）＝f（x）+f（6﹣x），
（1）求g（x）的定义域D，并求g（x）的最大值m；
（2）已知4a+log2a＝2b+log2+﹣，试比较b与ma的大小并说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由已知得，log2x0+log2（x0﹣2）＝0，log2x0（x0﹣2）＝0，
∴x0（x0﹣2）＝1，x02﹣2x0﹣1＝0，
解得 x0＝1±，又 x0＞2，∴x0＝1+．
（Ⅱ）（1）g（x）＝f（x）+f（6﹣x）＝log2（x﹣1）+log2（5﹣x），由，得1＜x＜5，∴x∈（1，5）．
由于g（x）＝log2（x﹣1）（5﹣x）＝log2[﹣（x﹣3）2+4]，∴当x＝3时，m＝g（x）max＝log24＝2，
（2）由4a+log2a＝2b+log2+﹣，得4a+log2a﹣＝2b+log2b﹣﹣log23+，
即22a+log22a﹣＝2b+log2b﹣﹣log23++1＝2b+log2b﹣﹣log23+，
因为﹣log23+＜0，所以22a+log22a﹣＜2b+log2b﹣，
考虑函数h（x）＝2x+log2x﹣，所以h（2a）＜h（b），
因2x，log2x，都是增函数，所以h（x）为增函数，∴2a＜b，又m＝2，
故始终有b＞ma成立．
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用

29.（2020秋•秦州区校级期末）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．

【解答】解：（1）函数f（x）＝的图象关于原点对称，
∴f（x）+f（﹣x）＝0，即+＝0，
∴（）＝0，∴＝1恒成立，
即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，
又a＝1时，f（x）＝无意义，故a＝﹣1；
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，即+（x﹣1）＜m，
∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，
由于y＝（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，
∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是m≥﹣1；
（3）f（x）＝在[2，3]上是增函数，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，
∴只需要即可保证关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．
代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，
即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解．
【知识点】对数函数的图象与性质

30.（2020春•南岸区期末）已知函数f（x）＝（a2﹣3a+3）ax是指数函数，
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加以证明
（3）解不等式：loga（1﹣x）＞loga（x+2）

【解答】解：（1）a2﹣3a+3＝1，可得a＝2或a＝1（舍去），
∴f（x）＝2x；
（2）F（x）＝2x﹣2﹣x，∴F（﹣x）＝﹣F（x），
∴F（x）是奇函数；
（3）不等式：log2（1﹣x）＞log2（x+2），即1﹣x＞x+2＞0，∴﹣2＜x＜﹣，
解集为{x|﹣2＜x＜﹣}．
【知识点】指数函数的图象与性质、函数奇偶性的性质与判断

31.（2020秋•新华区校级期中）已知函数是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意，函数是偶函数．
∵f（﹣x）＝f（x），
即对于任意x∈R恒成立，
∴，
∴2kx＝﹣x，
∴．
（2）由题意，h（x）＝4x+m×2x，x∈[0，log23]，
令t＝2x∈[1，3]，φ（t）＝t2+mt，t∈[1，3]，开口向上，对称轴，
当，即m≥﹣2时，φ（t）min＝φ（1）＝1+m＝0，解得：m＝﹣1，
当，即﹣6＜m＜﹣2时，（舍去），
当，即m＜﹣6时，φ（t）min＝φ（3）＝9+3m＝0，∴m＝﹣3（舍去）
∴存在m＝﹣1使得h（x）最小值为0．
【知识点】对数函数的图象与性质

32.（2020春•莲湖区校级期中）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）＝（﹣x+1）
（1）求f（3）+f（﹣1）；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a﹣1）＜﹣1，求实数a的取值范围．

【解答】解：（I）∵f（x）是定义在R上的偶函数，x≤0时，f（x）＝（﹣x+1），
∴f（3）+f（﹣1）＝f（﹣3）+f（﹣1）＝4+2＝﹣2﹣1＝﹣3；
（II）令x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）＝（x+1）＝f（x）
∴x＞0时，f（x）＝（x+1），
则f（x）＝．
（Ⅲ）∵f（x）＝（﹣x+1）在（﹣∞，0]上为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
∵f（a﹣1）＜﹣1＝f（1）
∴|a﹣1|＞1，
∴a＞2或a＜0
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数解析式的求解及常用方法、对数函数图象与性质的综合应用

33.（2020秋•江苏期中）设函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，且f（1）＝．
（1）求k，a的值；
（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的值域；
（3）设g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2m•f（x），若g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值；
（4）对于（3）中函数g（x），如果g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围．

【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ax﹣（k﹣1）a﹣x，（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）＝0，即1﹣（k﹣1）＝0，k＝2，
∵f（1）＝．∴a﹣＝，a＝2，
∴a＝2，k＝2，
（2）∵f（x）＝2x﹣2﹣x在[1，+∞）单调递增，
∴f（1）＝，
∴在[1，+∞）上的值域为[，+∞），
（3）g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），
设t＝2x﹣2﹣x，x∈[1，+∞），t∈[，+∞），
∴k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[，+∞），
∵若g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，
∴k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[，+∞），上的最小值为﹣2，
∴或
即m＝2，或m＝（舍去），
故m＝2
（4）k（t）＝t2﹣2mt+2，t∈[，+∞），
∵g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴k（t）＞0在t∈[，+∞）上恒成立，
∴或，
解不等式得出∅或，
∴m的取值范围为．
【知识点】指数函数综合题

34.（2020春•恩施州月考）已知函数f（x）＝lg（）为奇函数．
（1）求m的值，并求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）若对于任意θ∈[0，]，是否存在实数λ，使得不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）﹣lg3＞0．若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lg（）为奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x）在定义域内恒成立，
即lg（）＝﹣lg（），
即lg（）+lg（）＝0，
则•＝1，即1﹣m2x2＝1﹣x2，在定义域内恒成立，
∴m＝﹣1或m＝1，当m＝1时，f（x）＝lg（）＝lg，
此时1﹣x≠0，即x≠1，即函数的定义域关于原点不对称性，不满足条件．，舍去，
∴m＝﹣1，此时f（x）＝lg，
由＞0，解得﹣1＜x＜1，
故m＝﹣1，且函数的定义域是（﹣1，1）．
（2）∵f（x）＝lg，﹣1＜x＜1，任取﹣1＜x1＜x2＜1，
设u（x）＝，﹣1＜x＜1，
则u（x1）﹣u（x2）＝
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴u（x1）﹣u（x2）＜0，∴u（x1）＜u（x2），即lgu（x1）＜lgu（x2），
∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在定义域内单调递增．
（3）假设存在实数λ，使得不等式不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）﹣lg3＞0成立，
即不等式f（cos2θ+λsinθ﹣）＞lg3＝f（），
由（1），（2）知：＜cos2θ+λsinθ﹣＜1 对于任意θ∈[0，]，
即，当θ＝0时成立；

当θ∈（0，]时，令sinθ＝t，则，
即，则．
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用

35.（2020秋•通化期末）已知函数f（x）＝loga（1﹣x），g（x）＝loga（1+x），其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并证明；
（3）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．

【解答】解：（1）由题意可得 ，即 ，解得﹣1＜x＜1，
所以定义域为：（﹣1，1）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）设F（x）＝f（x）+g（x）＝loga（1﹣x）+loga（1+x），由于F（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，
而且 F（﹣x）＝loga（1+x）+loga（1﹣x）＝F（x），
所以，F（x）为偶函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（3）当a＞1时，由loga（1﹣x）＞loga（1+x），可得 1﹣x＞1+x，x＜0，所以﹣1＜x＜0．
当0＜a＜1时，由loga（1﹣x）＞loga（1+x），可得1﹣x＜1+x，x＞0，所以0＜x＜1．
综上，当a＞1时，x的取值范围为（﹣1，0）；当0＜a＜1时，x的取值范围为（0，1 ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【知识点】对数函数的单调性与特殊点、函数奇偶性的性质与判断、函数的定义域及其求法