考点10 期中训练之函数的应用3-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点10 期中训练之函数的应用3

1.（2020•禅城区校级期中）设函数f（x）＝4x3+x﹣8，用二分法求方程4x3+x﹣8＝0的解，则其解在区间（　　）
A．（1，1.5） B．（1.5，2） C．（2，2.5） D．（2.5，3）
【解答】解：∵f（1）＝﹣3＜0，f（1.5）＝7＞0，
∴根据零点存在定理，可得方程的根落在区间（1，1.5）内．
故选：A．
【知识点】函数零点的判定定理
2.（2020•湖北期中）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，，则函数g（x）＝xf（x）﹣1在[﹣7，+∞）上的所有零点之和为（　　）
A．0 B．4 C．8 D．16
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x）．
又∵函数g（x）＝xf（x）﹣1，
∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）﹣1＝（﹣x）[﹣f（x）]﹣1＝xf（x）﹣1＝g（x），
∴函数g（x）是偶函数，
∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．
∴函数g（x）在[﹣7，7]上所有的零点的和为0，
∴函数g（x）在[﹣7，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在[7，+∞）上所有的零点之和．
由0＜x≤2时，f（x）＝2|x﹣1|﹣1，
即．
∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[，1]，当且仅当x＝2时，f（x）＝1
又∵当x＞2时，f（x）＝f（x﹣2），
∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[，]，
函数f（x）在（4，6]上的值域为[，]，
函数f（x）在（6，8]上的值域为[，]，当且仅当x＝8时，f（x）＝，
函数f（x）在（8，10]上的值域为[，]，当且仅当x＝10时，f（x）＝，
故f（x）＜在（8，10]上恒成立，g（x）＝xf（x）﹣1在（8，10]上无零点
同理g（x）＝xf（x）﹣1在（10，12]上无零点
依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点
综上函数g（x）＝xf（x）﹣1在[﹣7，+∞）上的所有零点之和为8
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理
3.（2020•市中区校级期中）函数f（x）＝2x﹣x2的零点的个数为（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：f（x）＝2x﹣x2的零点，即为2x﹣x2＝0的根，也就是函数y＝2x与y＝x2的图象交点的横坐标，
作出这两个函数的图象如下：

由图可知，当x＜0时，必有一个交点，当x≥0时，结合图象，且x＝2及x＝4都是该方程的解，故原函数共有3个不同的零点．
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理
4.（2020•慈利县期中）利用二分法求方程log3x＝3﹣x的近似解，可以取的一个区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：设f（x）＝log3x﹣3+x，
∵当连续函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，
即方程log3x＝3﹣x在区间（a，b）上有解，
又∵f（2）＝log32﹣1＜0，f（3）＝log33﹣3+3＝1＞0，
故f（2）•f（3）＜0，
故方程log3x＝3﹣x在区间（2，3）上有解，
故选：C．
【知识点】二分法的定义与应用
5.（2020•番禺区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝，则关于x的函数y＝f（x）﹣a，（﹣1＜a＜0）的所有零点之和为（　　）
A．2a﹣1 B．2﹣a﹣1 C．1﹣2﹣a D．1﹣2a
【解答】解：作函数f（x）与y＝a的图象如下，

结合图象可知，
函数f（x）与y＝a的图象共有5个交点，
故函数F（x）＝f（x）﹣a有5个零点，
设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，
∴b+c＝2×（﹣3）＝﹣6，e+f＝2×3＝6，
＝a，
故x＝﹣1+2﹣a，即d＝﹣1+2﹣a，
故b+c+d+e+f＝﹣1+2﹣a，
故选：B．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的零点与方程根的关系、分段函数的应用
6.（2020•东阳市校级期中）若方程有且只有一个实数解，则实数m的取值范围为（　　）
A．﹣2≤m＜2 B．
C．﹣2≤m＜2或 D．
【解答】解：∵曲线y＝表示半圆 x2+y2＝4（ y≥0），
方程x+m＝有且只有一个实数解，即直线y＝x+m与半圆y＝只有一个交点，
∴利用数形结合可得﹣2≤m＜2或m＝2．
实数m的取值范围是{m|﹣2≤m＜2或m＝2}．
故选：C．

【知识点】函数与方程的综合运用、函数的零点与方程根的关系
7.（2020•番禺区校级期中）如果函数y＝f（x）在区间Ⅰ上是减函数，而函数在区间Ⅰ上是增函数，那么称函数y＝f（x）是区间Ⅰ上“缓减函数”，区间Ⅰ叫做“缓减区间”．若函数是区间Ⅰ上“缓减函数”，则下列区间中为函数Ⅰ的“缓减函数区间”的是（　　）
A．（﹣∞，2] B． C． D．
【解答】解：根据题意，对于，是二次函数，其对称轴为x＝1，在区间（﹣∞，2]上为减函数，
对于y＝＝+﹣2，在区间[﹣，0）和（0，]上为减函数，在区间（﹣∞，﹣]和[，+∞）为增函数，
若函数是区间Ⅰ上“缓减函数”，则f（x）在区间I上是减函数，函数y＝＝+﹣2在区间I上是增函数，
区间I为（﹣∞，﹣]或[，2]；
分析选项可得：[，2]为I的子集；
故选：C．
【知识点】函数的单调性及单调区间
8.（2020•宁县校级期中）下列函数中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣x2+1 C．y＝|lnx| D．y＝2|x|
【解答】解：根据题意，若f（x）满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”，
则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，据此分析选项：
对于A，y＝，是反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
对于B，y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
对于C，y＝|lnx|，在（0，1）上为减函数，不符合题意；
对于D，y＝2|x|，当x＞0时，y＝2x，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；
故选：D．
【知识点】函数的单调性及单调区间
9.（2020•通州区期中）用二分法求函数f（x）＝2x+2x﹣2在区间[0，4]上的零点近似值取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（2，3） D．（2，4）
【解答】解：因为f（0）＝20+0﹣2＝﹣1＜0；
f（4）＝24+8﹣2＞0；
又已知f（2）＝22+4﹣2＞0；
所以f（0）f（2）＜0；
所以零点在区间（0，2）．
故选：B．
【知识点】二分法的定义与应用
10.（2020•驻马店期中）已知函数f（x）＝lnx，若关于x的方程f（x）＝kx恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，] C．（，） D．（，]
【解答】解：设g（x）＝＝，
又g′（x）＝，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0，
则函数g（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，
又x→0+时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0+，g（e）＝，
即直线y＝k与函数g（x）的图象有两个交点时k的取值范围为（0，），
故选：A．

【知识点】函数的零点与方程根的关系
11.（2020•贵港期中）函数的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[1，2] D．[1，3]
【解答】解：函数，
令t＝﹣3+4x﹣x2，
则y＝3t，
由t＝﹣3+4x﹣x2在（﹣∞，2]递增，（2，+∞）递减，
y＝3t在R上递增，
可得函数的单调递增区间为（﹣∞，2]．
故选：A．
【知识点】函数的单调性及单调区间
12.（2020•沙坪坝区校级期中）已知f（x）是奇函数且在R上的单调递减，若方程f（x2+1）+f（m﹣x）＝0只有一个实数解，则实数m的值是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，
∴由f（x2+1）+f（m﹣x）＝0，得f（x2+1）＝﹣f（m﹣x）＝f（x﹣m），
又f（x）在R上的单调递减，
∴x2+1＝x﹣m，即x2﹣x+m+1＝0．
则△＝（﹣1）2﹣4（m+1）＝0，解得m＝﹣．
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
13.（2020•新乡期中）若函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，2） B．（0.1） C．（1，2） D．（﹣∞，1）
【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+a在（0，2）上有两个零点，函数的对称轴为：x=1，
可得：，即：，解得：0＜a＜1．
则a的取值范围为：（0，1）．
故选：B．
【知识点】函数零点的判定定理
14.（2020•中山区校级期中）若方程log2x=7﹣x的解为x0，且x0∈（n，n+1），则整数n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由于x0是方程log2x=7﹣x的根，
设f（x）=log2x+x﹣7，显然f（x）是（0，+∞）上的增函数，x0是连续f（x）的零点．
∵f（4）=log24+4﹣7=﹣1＜0，f（5）=log25+5﹣7=log25﹣2＞0，
故x0∈（4，5），则n=4．
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
15.（2020•武侯区校级期中）方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，则m的取值范围是（　　）
A．（，5） B．（﹣，5）
C．（﹣∞，）∪（5，+∞） D．（﹣∞，）
【解答】解：∵方程4x2+（m﹣2）x+m﹣5＝0的一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，2）内，
∴函数f（x）＝4x2+（m﹣2）x+m﹣5的两个零点一个在区间（﹣1，0）内，另一个在区间（0，2）内，
则，解得﹣＜m＜5．
∴m的取值范围是（﹣，5）．
故选：B．
【知识点】二分法的定义与应用

16.（2020•宿迁期中）已知函数y＝f（x）在定义域R上是单调减函数，且f（a+1）＞f（2a），则a的取值范围是　　　　　　　．
【解答】解：∵函数y＝f（x）在定义域R上是单调减函数且f（a+1）＞f（2a），
∴a+1＜2a解得，a＞1
故答案为（1，+∞）
【知识点】函数的单调性及单调区间
17.（2020•陆丰市校级期中）函数y＝|1+2x|+|2﹣x|的单调减区间是　　　　　　．
【解答】解：函数y＝|1+2x|+|2﹣x|＝
故函数在为减函数
即函数y＝|1+2x|+|2﹣x|的单调减区间是
故答案为：
【知识点】函数的单调性及单调区间
18.（2020•丹阳市校级期中）若x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a＝　﹣　．
【解答】解：由f（﹣1）＝﹣3＜0，f（0）＝1＞0，及零点定理知f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，
∴零点所在的一个区间是（a，a+1）＝（﹣1，0）
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1
【知识点】函数零点的判定定理
19.（2020•雁塔区校级期中）对于函数f（x），定义域为D，若存在x0∈D使f（x0）＝x0，则称（x0，x0）为f（x）的图象上的不动点，由此，函数f（x）＝4x+2x﹣2的零点差绝对值不超过0.25，则满足条件的g（x）有　　　　．
①g（x）＝4x﹣1；②；③g（x）＝ex﹣1；④．
【解答】解：∵f（x）＝4x+2x﹣2在R上连续，且f（）＝+﹣2＝﹣＜0，f（）＝2+1﹣2＝1＞0．
设f（x）＝4x+2x﹣2的零点为x0，则＜x0＜，
0＜x0﹣＜，∴|x0﹣|＜．
又g（﹣x）＝4x﹣1零点为x＝；
的零点为x＝；
g（x）＝ex﹣1零点为x＝0；
零点为x＝，
满足题意的函数有①②．
故答案为：①②．
【知识点】函数零点的判定定理
20.（2020•南阳期中）函数y＝f（x）是定义在a，b上的增函数，其中a，b∈R且0＜b＜﹣a，已知y＝f（x）无零点，设函数F（x）＝f2（x）+f2（﹣x），则对于F（x）有以下四个说法：
①定义域是[﹣b，b]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增．
其中正确的有　　　　（填入你认为正确的所有序号）
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，对于F（x）＝f2（x）+f2（﹣x），有a≤x≤b，a≤﹣x≤b，
而又由0＜b＜﹣a，则F（x）＝f2（x）+f2（﹣x）中，x的取值范围是﹣b≤x≤b，即其定义域是[﹣b，b]，则①正确；
对于②，F（﹣x）＝f2（﹣x）+f2（x）＝F（x），且其定义域为[﹣b，b]，关于原点对称，
则F（x）为偶函数，②正确；
对于③，由y＝f（x）无零点，假设f（x）＝2x，F（x）＝22x+2﹣2x＝22x+≥2，其最小值为2，故③错误；
对于④，由于F（x）是偶函数，则F（x）在[﹣b，0]上与[0，b]上的单调性相反，故F（x）在其定义域内不会单调递增，④错误；
故答案为①②．
【知识点】函数的单调性及单调区间、函数的定义域及其求法、函数奇偶性的性质与判断、函数的值域

21.（2020•荔湾区校级期中）若函数f（x）＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围为　　　　　　．
【解答】解：作函数g（x）＝|2x﹣2|的图象如下，

∵函数f（x）＝|2x﹣2|﹣b有两个零点，
结合图象可知，0＜b＜2．
故答案为：（0，2）．

【知识点】函数零点的判定定理
22.（2020•晋江市校级期中）将进货单价为8元的商品按10元销售时，每天可卖出100个，若这种商品销售单价每涨1元，日销售量应减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？
【解答】解：设商品的销售单价应定为x元则商品销售单价涨了（x﹣10）元，日销售量应减少10（x﹣10）个，获利y元
则有y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]
＝﹣10x2+280x﹣1600（x＞10）
其对称轴x＝14，开口向下
故当x＝14时，y最大
答：为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为14元
【知识点】根据实际问题选择函数类型
23.（2020•宝山区校级期中）已知函数r（x）＝．
（1）求不等式r（x）＞0的解集；
（2）判断r（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明．
【解答】解：（1）根据题意，不等式r（x）＞0即＞0，变形可得（1﹣x）（1+x）x＞0，
解可得：x＜﹣1或0＜x＜1，
即r（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；
（2）根据题意，r（x）＝＝﹣x，在（﹣∞，0）上为减函数，
证明：设x1＜x2＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＝（﹣x1）﹣（﹣x2）＝﹣（x1﹣x2）（+1），
又由x1＜x2＜0，则x1﹣x2＜0，+1＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＞0，
故函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数．
【知识点】函数的单调性及单调区间、其他不等式的解法
24.（2020•徐州期中）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M＝，N＝ （x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？
【解答】解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（8﹣x）万元，…（2分）
共获利润 …（6分）
令　（0≤t≤），则x＝t2+1，
∴…（10分）
故当t＝时，可获最大利润 万元．…（12分）
此时，投入乙种商品的资金为万元，
投入甲种商品的资金为万元．…（14分）
【知识点】根据实际问题选择函数类型、二次函数的性质与图象
25.（2020•白云区校级期中）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]＝1，[2]＝2，已知0≤x＜4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）记函数g（x）＝x﹣f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；
（Ⅲ）若方程g（x）﹣loga（x﹣）＝0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，
①当0≤x＜1时，f（x）＝[x]＝0；②当1≤x＜2时，f（x）＝[x]＝1；
③当2≤x＜3时，f（x）＝[x]＝2；④当3≤x＜4时，f（x）＝[x]＝3；
所以f（x）＝．
（Ⅱ） g（x）＝x﹣f（x）＝，图象如图所示：

（Ⅲ）方程g（x）﹣＝0仅有一根等价于g（x）与h（x）＝ 图象仅有一个交点，
由图象可知0＜a＜1 时，h（1）＝，解得；
a＞1时，h（2）＝或，解得1＜a≤或．
综上，a的范围是[，1）∪（1，]∪（，]．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数的零点、函数的图象与图象的变换
26.（2020•浙江期中）已知函数f（x）=loga（x+1），（a＞1）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[m，n]（m＞﹣1）上的值域为[loga，loga]，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）=loga（x2﹣3x+3），F（x）=af（x）﹣g（x），其中a＞1．若w≥F（x）对（﹣1，+∞）内的任意x恒成立，求实数w的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞1，∴在（﹣1，+∞）上为单调递增函数．
∴在区间[m，n]（m＞﹣1）上f（m）=log，f（n）=log，
即m+1=，n+1=，n＞m＞﹣1．
∴m，n是方程x+1=，即方程x2+x﹣p=0，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）上有两个相异的解，
这等价于，
解得为所求．

（Ⅱ）F（x）=af（x）﹣g（x）==．
即F（x）=，
∵（x+1）+，当且仅当x+1=，即x+1=，x=时等号成立，（利用勾函数的单调性来解决）
∴F（x）=，，
∴F（x）．
∵w≥F（x）恒成立，w≥F（x）max，
∴w≥为所求．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点、函数的值域、函数的零点、基本不等式及其应用
27.（2020•苏州期中）已知奇函数y＝f（x）定义域是[﹣4，4]，当﹣4≤x≤0时，y＝f（x）＝﹣x2﹣2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）设 0≤x≤4，则4≤﹣x≤0，由于当﹣4≤x≤0时，y＝f（x）＝﹣x2﹣2x，
故f（﹣x）＝﹣x2 +2x．
再由函数y＝f（x）是奇函数可得，﹣f（x）＝﹣x2 +2x，故 f（x）＝x2 ﹣2x．
故函数f（x）的解析式为 f（x）＝．
（2）画出函数f（x）的图象，结合图象可得，当x＝﹣4时，函数f（x）取得最小值为﹣8，
当x＝4时，函数f（x）取得最大值为8，故函数的值域为[﹣8，8]．

（3）结合图象可得，函数f（x）的单调递增区间为[﹣4，﹣1]、[1，4]．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数的单调性及单调区间、函数的值域