必刷卷02 2020-2021学年高二年级数学上学期期末仿真必刷模拟卷（人教A版2019）（解析版）

2020-2021学年高二上学期数学期末仿真必刷模拟卷【人教A版2019】
期末检测卷02
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB＝8，AD＝2，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角E﹣AD﹣B与F﹣BC﹣A相等，则EF长度的取值范围为（　　）

A．（2，14） B．（2，8） C．（0，12） D．（2，12）

【解答】解：等边三角形ADE边上的高为tan60°＝3．同理等边三角形BCF边上的高为3．
①二面角E﹣AD﹣B与F﹣BC﹣A相等，且为平角时，EF＝6+8＝14，因此EF＜14．
②二面角E﹣AD﹣B与F﹣BC﹣A相等，且为零角时，EF＝8﹣6＝2，因此EF＞2．
则EF长度的取值范围为（2，14）．
故选：A．
【知识点】二面角的平面角及求法、点、线、面间的距离计算

2.把边长为a的正△ABC沿BC边上的高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是（　　）
A．a B． C． D．

【解答】解：如图，∵边长为a的正△ABC沿BC边上的高线AD折成60°的二面角，
∴AC＝AB＝a，BD＝CD＝BC＝，
过点A作AO⊥BC，交BC于O，
则AO＝＝．
∴点A到BC的距离为a．
故选：D．

【知识点】二面角的平面角及求法

3.已知直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：如图y＝k（x+4）恒过定点P（﹣4，0），当直线与半圆切于A点时，
＝，
结合图象可得，直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点时，k∈[0，）．
∴k的取值范围是[0，）．
故选：B．
【知识点】直线与圆的位置关系

4.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F重合，且相交于A，B两点，直线AF交抛物线与另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若|AF|＝|FC|，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．3

【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝﹣x，直线AC的倾斜角θ，即tanθ＝﹣，sinθ＝，cosθ＝﹣，
由抛物线的焦点弦公式可知：|AF|＝＝，|CF|＝＝，
由|AF|＝|FC|，即＝×，即a+c＝2（c﹣a），则c＝3a，
所以曲线的离心率为e＝＝3，
故选：D．
【知识点】圆锥曲线的综合

5.双曲线C：﹣y2＝1的左，右顶点分别是A1，A2，P是C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于M，N，则|MN|的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．3

【解答】解：由双曲线的对称性可知，P在右支上时，|MN|取最小值．
由上可得A1（﹣2，0），A2（2，0），根据双曲线方程﹣y2＝1可得•＝，
所以设直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2（k1、k2＞0），
则k1k2＝．
PA1的方程为y＝k1（x+2），令x＝1，解得M（1，3k1），
PA2的方程为y＝k2（x﹣2），令x＝1，解得N（1，﹣k2），
所以|MN|＝|3k1﹣（﹣k2）|＝3k1+k2≥2＝（当且仅当3k1＝k2，即k1＝，k2＝时等号成立）．
故选：B．
【知识点】双曲线的性质

6.已知F为椭圆M：的右焦点，点A，B，C为椭圆M上三点，当＝时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（　　）
A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个

【解答】解：如图，椭圆M：的右焦点F（1，0），
A、B、C为椭圆M上三点，当＝时，F为△ABC的重心，
用如下办法构造△ABC，设A为椭圆上任意一点，连接AF并延长至D，使FD＝AF，
当D在椭圆内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．
故选：D．

【知识点】椭圆的性质

7.下面是利用数学归纳法证明不等式n2（n≥2，且n∈N*）的部分过程：
“……
假设当n＝k（k≥2）时，k2，故当n＝k+1时，有_____，
因为2＝＜_____，
故+）＜（k+1）2，
……”
则横线处应该填（　　）
A．+）＜k2+2，2k+1
B．＜k2+2，2k+1
C．+）＜k2+2，2k+2
D．＜k2+2，2k+2

【解答】解：假设当n＝k（k≥2）时，k2，
故当n＝k+1时，有2（++…++）＜k2+2，
因为2＝＜2k+1，
故+）＜（k+1）2，
故选：A．
【知识点】数学归纳法

8.等差数列{an}的前n项和Sn，且4≤S2≤6，15≤S4≤21，则a2的取值范围为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵4≤S2≤6，15≤S4≤21，
∴4≤2a1+d≤6，15≤4a1+6d≤21，
∵
∴，
即，
故选：B．
【知识点】等差数列的前n项和

9.在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2（x＞0）和曲线均相切，切点分别为A，B两点，则两切点AB之间的长为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：可设A（m，n），切线l的方程为y＝kx+b，k＞0，b＜0，
由y＝x2的导数为y′＝2x，可得k＝2m，
又n＝m2＝km+b，可得b＝﹣m2，
由直线l与半圆相切，可得＝1，
即有1+k2＝b2＝1+4m2＝m4，
解得m2＝2±，
由图象可得m＞1，可得m2＝2+，
即有n2＝9+4，
在直角三角形OAB中，|AB|＝＝＝，
故选：D．

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

10.若关于x的不等式4x3+ax﹣1≤0对任意x∈[﹣1，1]都成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣4，﹣3] B．{﹣3} C．{3} D．[3，4]

【解答】解：令f（x）＝4x3+ax﹣1，x∈[﹣1，1]．
不等式4x3+ax﹣1≤0对任意x∈[﹣1，1]都成立，即f（x）≤0对任意x∈[﹣1，1]都成立，
取a＝﹣4，则f（x）＝4x3﹣4x﹣1，此时f（）＝＞0，排除A．
取a＝3，则f（x）＝4x3+3x﹣1，此时f（）＝1＞0，排除CD．
故选：B．
【知识点】利用导数研究函数的最值

11.将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD⊥平面BCD，则（　　）
A．AC⊥BD
B．△ADC为等边三角形
C．AB与CD所成角为60°
D．AB与平面BCD所成角为60°

【解答】解：将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD⊥平面BCD，
构建棱长均为a的正四棱锥C﹣ABED，
由正四棱锥的性质知：
在A中，连结AE、BD，交于点O，连结CO，
则AE⊥BD，CO⊥BD，∵AE∩BD＝O，∴BD⊥平面AEC，
∵AC⊂平面ACE，∴AC⊥BD，故A正确；
在B中，△ADC是等边三角形，故B正确；
在C中，∵AB∥DE，△DEC是等边三角形，∴AB与CD所成角为60°，故C正确；
在D中，AB与平面BCD所成角为∠ABO＝45°，故D错误．
故选：ABC．

【知识点】异面直线及其所成的角、直线与平面所成的角

12.如图A（2，0），B（1，1），C（﹣1，1），D（﹣2，0），是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W．则下述正确的是（　　）

A．曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）
C．所在圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝1
D．与的公切线方程为：x+y＝

【解答】解：曲线W与x轴的图形为以（0，1）圆心、1为半径的半圆加上以（1，0）为圆心，1为半径的圆，
加上以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，
可得其面积为π+π+2＝2+π≠2π，故A错误；
曲线W上有（﹣2，0），（﹣1，1），（0，2），（1，1），（2，0）共5个整点，故B正确；
是以（0，1）为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2+（y﹣1）2＝1，故C正确；
设与的公切线方程为y＝kx+t（k＜0，t＞0），
由直线和圆相切的条件可得＝1＝，解得k＝﹣1，t＝1+（1﹣舍去），
则其公切线方程为y＝﹣x+1+，即x+y＝1+，故D正确．
故选：BCD．

【知识点】圆的切线方程、圆的标准方程

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.若＝（2，﹣3，1），＝（2，0，3），＝（0，2，2）则（）＝　　．

【解答】解：∵＝（2，﹣3，1），＝（2，0，3），＝（0，2，2）
∴＝（2，2，5），
∴•（）＝2×2+（﹣3）×2+1×5＝3，
故答案为：3．
【知识点】空间向量的数量积运算

14.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2x与椭圆+＝1（a＞b＞0）在第一象限内交于点P，且以OP为直径的圆恰好经过右焦点F，则椭圆的离心率是　　　　　﹣　

【解答】解：以OP为直径的圆恰好经过右焦点F（c，0），
可得PF⊥x轴，令x＝c，可得y＝±b＝±，
设P（c，），可得＝2c，
即为a2﹣c2＝b2＝2ac，
由e＝可得e2+2e﹣1＝0，
解得e＝﹣1（负的舍去），
故答案为：﹣1．
【知识点】圆与圆锥曲线的综合

15.两等差数列{an}和{bn}，前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于　　　　　　．

【解答】解：====．
故答案为：．
【知识点】等差数列的性质

16.对于函数有下列命题：
①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；
②函数f（x）的最小值为；
③该函数图象与x轴有4个交点；
④函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数．
其中正确命题的序号是　　　　　．

【解答】解：x≤0时，f（x）＝2xex，f′（x）＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正确；
且f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f（x）有最小值f（﹣1）＝，
x＞0时，f（x）＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f（x）有最小值f（1）＝
故f（x）有最小值，②④正确；因为x＜0时，f（x）恒小于0，且f（x）＝0，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；
故答案为：①②④
【知识点】导数及其几何意义、函数的最值及其几何意义、函数单调性的性质与判断、分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的图象与图象的变换

三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．
（1）求证：C1B⊥平面ABC；
（2）求二面角A﹣EB1﹣A1的余弦值；
（3）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．


【解答】（1）证明：∵BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，
∴BC1＝，
∴BC2+BC12＝CC12，∴BC1⊥BC，
又AB⊥侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，
又AB∩BC＝B，∴C1B⊥平面ABC；
（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（0，0，2），B1（﹣1，，0），A1（﹣1，，2），
E（，，0），C（1，0，0）；
则＝（﹣，﹣，2），＝（﹣，，0），＝（0，0，2）；
设平面AEB1的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝1，得y＝，z＝1，所以＝（1，，1）；
设平面A1EB1的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝1，求得＝（1，，0）；
cos＜，＞＝＝＝，
∴二面角A﹣EB1﹣A1的余弦值为﹣；
（3）假设在棱CA上存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，
不妨设＝λ，λ∈[0，1]；
又＝（x﹣1，y，z），＝（﹣1，0，2）；
即，所以M（1﹣λ，0，2λ）；
所以＝（﹣λ，﹣，2λ），平面A1B1E的法向量为＝（1，，0）；
则EM与平面A1B1E所成角的正弦值为：
|cos＜，＞|＝＝＝，
化简得69λ2﹣38λ+5＝0，解得λ＝或λ＝；
所以在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，
此时＝或．

【知识点】直线与平面垂直、二面角的平面角及求法、直线与平面所成的角

18.在△ABC中，B（﹣9，0），C（6，0），AD为角A的角平分线，直线AD的方程为3x﹣y﹣3＝0．记△ABD的面积为S△ABD，△ADC的面积为S△ADC．
（1）求S△ABD：S△ADC；
（2）求A点坐标．

【解答】解：（1）将y＝0代入AD方程，得D（1，0），
∴|BD|＝10，|DC|＝5，
则S△ABD：S△ADC；＝2：1；
（2）设点C关于直线AD对称的点为C′（x0，y0），直线CC′与直线AD的交点为M．
则CC′的方程为y＝﹣．
联立直线AD与CC′方程得，
解得x＝y＝，即M（），根据中点坐标公式易得C′（﹣3，3）．
则直线BC′的方程为x﹣2y+9＝0，联立直线BC′与AD方程得，
，解得，即A（3，6）．
【知识点】三角形的面积公式、两条直线的交点坐标

19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+4）2+（y﹣2）2＝20与y轴交于O，P两点，圆C2过O，P两点且与直线l1：y＝﹣x相切．
（Ⅰ）求圆C2的方程；
（Ⅱ）若直线l2：y＝kx与圆C1，圆C2的交点分别为点M，N．求证：以线段MN为直径的圆恒过点P．

【解答】解（Ⅰ）由题意令x＝0，代入圆C1中可得y1＝0，y2＝4，可得：O（0，0），P（0，4），
设圆C2的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，圆心C2坐标（﹣，﹣），将O，P点代入可得：，解得：F＝0，E＝﹣4，
由题意可得OC2⊥l1，所以＝2，可得D＝﹣2，
所以圆C2的方程为：x2+y2﹣2x﹣4y＝0；
（Ⅱ）由题意可得 k≠﹣且k≠2，
联立与圆C1的方程：，整理得：（1+k2）x2+（8﹣4k）x＝0，可得M（，），
联立与圆C2的方程：，整理得：（1+k2）x2﹣（2+4k）x＝0，可得N（，），
因为kPM＝＝﹣，kPN＝＝，
∴kPM•kPN＝﹣1，即PM⊥PN，
所以以线段MN为直径的圆恒过点P．
【知识点】直线与圆的位置关系

20.分别求满足下列条件的椭圆标准方程：
（1）中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点（﹣2，0），；
（2）离心率，且与椭圆有相同焦点．

【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n）
由解得m＝，n＝．
所以椭圆方程为+＝1．
（2）由于所求椭圆与椭圆有相同焦点，
设其标准方程为+＝1（a＞b＞0），
则c2＝16﹣12＝4，所以c＝2．
由e＝＝＝，则a＝2．
所以b2＝a2﹣c2＝4．
所以所求椭圆的标准方程为．
【知识点】椭圆的标准方程

21.已知椭圆，离心率为，点D在椭圆C上，且△DF1F2的周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2．若3k1+2k2＝0，求直线F1M的方程．

【解答】解：（1）依题意可知：，
△DF1F2的周长＝|DF1|+|DF2|+|F1F2|＝2a+2c＝6，
∴a+c＝3c＝3∴c＝1，a＝2，，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）延长MF1，交椭圆C于点
又由F1M∥F2N，故F1P∥F2N，且F1，F2关于原点对称，
∴点P，N关于原点对称，
F1（﹣1，0），A（﹣2，0），B（2，0），
设直线F1M的方程为：x＝my﹣1，M（x1，y1），P（x2，y2）∴N（﹣x2，﹣y2），
联立直线与椭圆的方程：，，，
∴，，
，
∴，，
∴，
∵M在x轴上方∴y1＞0∴m＞0，，直线F1M的方程为：，
即．

【知识点】椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合

22.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2（n∈N*），数列{bn}为等比数列，且a2+1，a4+1分别为数列{bn}第二项和第三项．
（1）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（2）若数列cn＝anbn+，求数列{cn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）因为：数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2（n∈N*），
∴an＝＝＝2n﹣1；
∵数列{bn}为等比数列，且a2+1，a4+1分别为数列{bn}第二项和第三项；
∴b2＝4，b3＝8；
∴q＝2；b1＝2；
∴bn＝2n；
（2）∵数列cn＝anbn+＝（2n﹣1）×2n+＝（2n﹣1）×2n+（﹣）；
令A＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n； ①
∴2A＝1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣1）×2n+1，②
①﹣②得：﹣A＝21+2×22+2×23+…+2×2n﹣（2n﹣1）×2n+1
＝2+2×﹣（2n﹣1）×2n+1；
＝（3﹣2n）×2n+1﹣6．
∴A＝（2n﹣3）×2n+1+6．
令B＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣）＝；
∴数列{cn}的前n项和Tn＝（2n﹣3）×2n+1+6+．
【知识点】等比数列的通项公式、数列的求和

23.已知函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+2为偶函数，记g（x）＝xf（x）﹣ax﹣1（a∈R）．
（1）求实数a的值；
（2）求函数y＝g（x）的单调区间，并给予证明．

【解答】解：（1）由题意，函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）．
∵f（x）＝ax2+（2﹣a）x+2，f（﹣x）＝ax2﹣（2﹣a）x+2
∴2﹣a＝﹣（2﹣a），
解得a＝2．
（2）由（1），知f（x）＝2x2+2，
则g（x）＝xf（x）﹣ax﹣1＝x（2x2+2）﹣2x﹣1＝2x3﹣1．
设x1，x2∈R且x1＜x2，
则g（x2）﹣g（x1）＝2﹣1﹣2+1＝2（﹣）
＝2（x2﹣x1）（+x1x2+）
＝2（x2﹣x1）（+x1x2+）
＝2（x2﹣x1）[（x1+x2）2+]．
∵（x1+x2）2≥0，≥0，
∴（x1+x2）2+≥0．（*）
当且仅当，即x1＝x2＝0时，（*）中等号成立，
这与x1＜x2不符，
故（x1+x2）2+＞0．
又∵x2﹣x1＞0，
∴g（x2）﹣g（x1）＞0，即g（x2）＞g（x1）．
函数y＝g（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，
∴函数y＝g（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞）．
【知识点】利用导数研究函数的单调性