课时作业(一) 空间向量及其线性运算

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1．(多选)设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(BA,\s\up6(→))
2．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则eq \(MG,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A．2eq \(DB,\s\up6(→)) B．3eq \(MG,\s\up6(→))
C．3eq \(GM,\s\up6(→)) D．2eq \(MG,\s\up6(→))
3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq \(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq \(B1M,\s\up6(→))相等的是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式eq \(DD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))化简后的结果是( )
A.eq \(BD1,\s\up6(→))
B.eq \(D1B,\s\up6(→))
C.eq \(B1D,\s\up6(→))
D.eq \(DB1,\s\up6(→))
5．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
6．(多填题)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)) ＝________；eq \(DD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝________.
[提能力]
7．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量eq \(AC1,\s\up6(→))的有( )
A．(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(CC1,\s\up6(→))
B．(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→)))＋eq \(D1C1,\s\up6(→))
C．(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(→))
D．(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(→))
8．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AA1,\s\up6(→))，x＋y＋z＝________.
9．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE.
求证：向量eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))共面．
[战疑难]
10．利用空间向量的知识证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．
课时作业(一)
1．解析：B错误，因为eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(CA,\s\up10(→))＝0，而不是eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(CA,\s\up10(→))＝0.C错误，因为eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(AC,\s\up10(→))＝eq \(CB,\s\up10(→)).故选BC.
答案：BC
2．解析：eq \(MG,\s\up10(→))－eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(AD,\s\up10(→))＝eq \(MG,\s\up10(→))＋eq \(BD,\s\up10(→))＝eq \(MG,\s\up10(→))＋2eq \(MG,\s\up10(→))＝3eq \(MG,\s\up10(→)).
答案：B
3．解析：eq \(B1M,\s\up10(→))＝eq \(B1A1,\s\up10(→))＋eq \(A1A,\s\up10(→))＋eq \(AM,\s\up10(→))＝－a＋c＋eq \f(1,2)(a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
答案：A
4．解析：如题图所示，因为eq \(DD1,\s\up10(→))＝eq \(AA1,\s\up10(→))，eq \(DD1,\s\up10(→))－eq \(AB,\s\up10(→))＝eq \(AA1,\s\up10(→))－eq \(AB,\s\up10(→))＝eq \(BA1,\s\up10(→))，又因为eq \(BA1,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(BD1,\s\up10(→))，所以eq \(DD1,\s\up10(→))－eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(BD1,\s\up10(→)).
答案：A
5．解析：eq \(OP,\s\up10(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up10(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up10(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \f(1,8)(eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \(AB,\s\up10(→)))＋eq \f(1,8)(eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \(AC,\s\up10(→)))＝eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up10(→))，
∴eq \(OP,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→))＝eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up10(→))，
∴eq \(AP,\s\up10(→))＝eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up10(→)).
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面．
答案：B
6．解析：eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(AA1,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(CC1,\s\up10(→))＝eq \(AC1,\s\up10(→))，eq \(DD1,\s\up10(→))－eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＝eq \(DD1,\s\up10(→))－(eq \(AB,\s\up10(→))－eq \(AD,\s\up10(→)))＝eq \(DD1,\s\up10(→))－eq \(DB,\s\up10(→))＝eq \(BD1,\s\up10(→)).
答案：eq \(AC1,\s\up10(→)) eq \(BD1,\s\up10(→))
7．解析：对于A，(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→)))＋eq \(CC1,\s\up10(→))＝eq \(AC,\s\up10(→))＋eq \(CC1,\s\up10(→))＝eq \(AC1,\s\up10(→))，
对于B，(eq \(AA1,\s\up10(→))＋eq \(A1D1,\s\up10(→)))＋eq \(D1C1,\s\up10(→))＝eq \(AD1,\s\up10(→))＋eq \(D1C1,\s\up10(→))＝eq \(AC1,\s\up10(→))，
对于C，(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BB1,\s\up10(→)))＋eq \(B1C1,\s\up10(→))＝eq \(AB1,\s\up10(→))＋eq \(B1C1,\s\up10(→))＝eq \(AC1,\s\up10(→))，
对于D，(eq \(AA1,\s\up10(→))＋eq \(A1B1,\s\up10(→)))＋eq \(B1C1,\s\up10(→))＝eq \(AB1,\s\up10(→))＋eq \(B1C1,\s\up10(→))＝eq \(AC1,\s\up10(→)).
故选ABCD.
答案：ABCD
8．解析：∵eq \(AE,\s\up10(→))＝eq \(AA1,\s\up10(→))＋eq \(A1E,\s\up10(→))＝eq \(AA1,\s\up10(→))＋eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up10(→))＝eq \(AA1,\s\up10(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up10(→))＝eq \(AA1,\s\up10(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(AD,\s\up10(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(AA1,\s\up10(→))，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)，z＝1，
∴x＋y＋z＝2.
答案：2
9．证明：因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD，所以eq \(MB,\s\up10(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up10(→))＝eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up10(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up10(→)).同理eq \(AN,\s\up10(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up10(→)).
所以eq \(MN,\s\up10(→))＝eq \(MB,\s\up10(→))＋eq \(BA,\s\up10(→))＋eq \(AN,\s\up10(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(DA,\s\up10(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up10(→))))＋eq \(BA,\s\up10(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AD,\s\up10(→))＋\f(1,3)\(DE,\s\up10(→))))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up10(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up10(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up10(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up10(→)).
又eq \(CD,\s\up10(→))与eq \(DE,\s\up10(→))不共线，根据向量共面的充要条件可知eq \(MN,\s\up10(→))，eq \(CD,\s\up10(→))，eq \(DE,\s\up10(→))共面．
10．证明：
如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设点O是AC′的中点，则eq \(AO,\s\up10(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC′,\s\up10(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(AA′,\s\up10(→)))．
设P，M，N分别是BD′，CA′，DB′的中点，
则eq \(AP,\s\up10(→))＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(BP,\s\up10(→))
＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \f(1,2)eq \(BD′,\s\up10(→))
＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up10(→))＋eq \(BC,\s\up10(→))＋eq \(BB′,\s\up10(→)))
＝eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \f(1,2)(－eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(AA′,\s\up10(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(AA′,\s\up10(→)))，
同理可得eq \(AM,\s\up10(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(AA′,\s\up10(→)))，eq \(AN,\s\up10(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up10(→))＋eq \(AD,\s\up10(→))＋eq \(AA′,\s\up10(→)))．
由此可知O，P，M，N四点重合．
故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．